Задача 1: Каждый из трех игроков записывает сто слов, после чего записи сравнивают. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вычеркивают из всех списков. Могло ли случиться так, что у первого игрока осталось 54 слова, у второго – 75 слов, а у третьего – 80 слов?

(С.Л.Берлов)

Задача 2: Найдите все четверки натуральных чисел k,l,m,n таких, что (2^k + 2^l) = 2^m + 2ⁿ.

(Австралийская олимпиада)

Задача 3: Известно, что сумма нескольких данных положительных чисел равна сумме их квадратов. Что больше: сумма кубов или сумма четвертых степеней этих чисел?

(Ф.Л.Назаров)

Задача 4: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Различные точки F и G на стороне AC таковы, что DF||BC, и EG||AB. Докажите, что четырехугольник DEFG – вписанный.

(С.Л.Берлов)

Задача 5: В турнире по олимпийской системе (т.е., в каждом туре оставшиеся игроки разбиваются на пары, и проигравшие выбывают) играли 256 человек. Каждому присвоили квалификационный номер – от 1 до 256. Партия называется неинтересной, если разность номеров участников больше 21. В турнире все партии оказались интересными. Докажите, что участник с номером 1 одержал не более двух побед.

(Р.А.Семизаров и др.)