Задача 1: Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на ее мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.

(К.П.Кохась)

Задача 2: Про натуральные числа A, B и C известно, что частное от деления A на B больше удвоенного остатка от деления A на B, а частное от деления B на C больше удвоенного остатка от деления B на C. Докажите, что частное от деления A на C больше удвоенного остатка от деления A на C.

(Ф.Л.Назаров)

Задача 3: Точка D взята на медиане BM треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB, а через точку C проведена прямая, параллельная медиане BM. Две полученные прямые пересекаются в точке E. Докажите, что BE = AD.

(С.Л.Берлов)

Задача 4: Известно, что сумма нескольких данных положительных чисел равна сумме их квадратов. Что больше: сумма кубов или сумма четвертых степеней этих чисел?

(Ф.Л.Назаров)

Задача 5: В турнире по олимпийской системе (т.е., в каждом туре оставшиеся игроки разбиваются на пары, и проигравшие выбывают) играли 256 человек. Каждому присвоили квалификационный номер – от 1 до 256. Партия называется неинтересной, если разность номеров участников больше 21. В турнире все партии оказались интересными. Докажите, что участник с номером 1 одержал не более двух побед.

(Р.А.Семизаров и др.)