Задача 1: Шестизначное число делится на 8. Какую наибольшую сумму цифр оно может иметь? [Шестизначное число делится на 8, но не делится на 5. Какую наименьшую сумму цифр оно может иметь?]

(С.~Берлов)

Решение: Ответ: наибольшая возможная сумма цифр – 51 – у числа 999888, наименьшая возможная сумма цифр – 5 – у числа 100112.

Задача 2: На острове Невезения, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, существуют три политических партии, причем каждый житель состоит ровно в одной из них. Каждому жителю задали три вопроса: состоите ли вы в первой, состоите ли во второй, состоите ли в третьей партии. На эти вопросы было получено 60%, 50%, 40% [60%, 40%, 30%] утвердительных ответов соответственно. Кого во второй [третьей] партии больше: рыцарей или лжецов?

(Ф.~Назаров)

Решение: Каждый рыцарь ответил утвердительно ровно на один вопрос, а каждый лжец – ровно на два. Общее количество утвердительных ответов равно 150% (от всего населения острова). Значит, 50% населения острова составляют лжецы. Утвердительно на вопрос о принадлежности ко второй партии ответили рыцари из второй партии и лжецы, не состоящие во второй партии. Если рыцари из второй партии составляют n% населения острова, то лжецы не из второй партии составляют (50 – n)% населения, а лжецы, состоящие во второй партии, составляют (50 – (50 – n)) = n% населения. Т. е. во второй партии лжецов и рыцарей поровну.

Второй вариант решается аналогично. Ответ: поровну.

Задача 3: В ромбе ABCD на отрезке BC нашлась точка E, такая, что AE = CD. Отрезок ED пересекается с описанной окружностью треугольника AEB в точке F. Докажите, что точки A, F и C лежат на одной прямой.

[В ромбе ABCD описанная окружность треугольника BCD пересекает сторону AB в точке E, описанная окружность треугольника AED пересекает отрезок BD в точке F. Докажите, что точки E, F и C лежат на одной прямой.]

(С.~Берлов)

Решение: Так как четырехугольник ABEF вписанный, то сумма углов BEF и BAF равна 180. Заметим, что сумма углов BEF и FEC также равна 180. Поэтому  ∠ BAF =  ∠ FEC. Далее, так как трапеция AECD – равнобочная, то  ∠ FEC =  ∠ ACE, а поскольку треугольник ABC – равнобедренный, то  ∠ ACE =  ∠ BAC. Мы получили, что  ∠ BAF =  ∠ BAC, откуда и следует требуемое.

Второй вариант: Так как четырехугольник AEFD вписанный, то сумма углов AEF и ADF равна 180. Заметим, что сумма углов AEF и FEB также равна 180. Поэтому  ∠ ADF =  ∠ FEB. Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому  ∠ ADF =  ∠ BDC. Далее, так как трапеция DEBC – вписанная, то  ∠ BDC =  ∠ BEC, как опирающиеся на одну дугу. Мы получили, что  ∠ BEF =  ∠ BEC, откуда и следует требуемое.

Задача 4: Рассмотрим точки трехмерного пространства, координаты которых целочисленны и удовлетворяют неравенствам: 0 < x < 100, 0 < y < 100, 0 < z < 100. Для каждой такой точки напишем сумму ее наибольшей и наименьшей координаты. Чему равна сумма всех написанных чисел?

[ …0 < x,y,z < 200. Для каждой точки напишем её среднюю по величине координату. Чему равна сумма всех написанных чисел?]

(Р.~Исмаилов)

Решение: Разобьем все точки, кроме точки (50,50,50), на пары, симметричные относительно нее: пару с точкой (x,y,z) образует точка (100 – x,100 – y,100 – z). Сумма чисел, выписанных для каждой пары, равна двумстам, количество пар равно (99³ – 1)/2. Значит, искомая сумма равна (99³ – 1) • 100 + 100 (последнее слагаемое соответствует центральной точке).

Задача 5: x и y – вещественные числа из отрезка [0,1]. Докажите неравенство:

(А.~Голованов)

Решение: Решение 1. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем квадратичном двух чисел: (которое легко доказывается возведением в квадрат), применив его к левой части данного неравенства. Получим:

Для доказательства требуемого неравенства достаточно проверить, что подкоренное выражение не превосходит 2/5. Обозначим, u = x², v = y². Нам нужно доказать, что u/(2v + 3) + v/(2u + 3) ≤ 2/5. Домножим на знаменатели и преобразуем: 10u² + 3u + 10v² + 3v – 8uv ≤ 18. Найдем наибольшее значение левой части при u ∈ [0,1], v ∈ [0,1]. Левая часть последнего неравенства – квадратный трехчлен относительно u с положительным старшим членом. Значит, она достигает наибольшего значения на краю промежутка [0,1], т. е. при u = 0 или при u = 1. Аналогично, максимум левой части должен достигаться лишь при v = 0 или v = 1. Когда пара (u,v) принимает значения (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) левая часть рассматриваемого неравенства равна соответственно 0, 13, 13, 18. Итак, в последнем неравенстве левая часть действительно не превосходит 18.

Решение 2. Не умаляя общности, можно считать, что x ≤ y. Тогда

Достаточно доказать, что правая часть последнего неравенства не превосходит . Возведем в квадрат и выполним преобразования, получим: 3x² – 10x + 7 ≥ 0, что верно при x ∈ [0,1].