Задача 1:

В куче 666 спичек. Два игрока ходят по очереди. Каждый своим ходом может либо взять из кучи от 1 до 5 спичек, либо обменять у судьи ранее взятые 5 спичек на ириску. Выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

(К.~Кохась)

Задача 2:

Окружность, проходящая через вершины A и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в ее середине D, а сторону BC – в точке E. Окружность, проходящая через точку E и касающаяся в точке C прямой AC, пересекает прямую DE в точке F. K – точ- ка пересечения прямых AC и DE. Докажите, что прямые CF, AE и BK пересекаются в одной точке.

(С.Берлов)

Задача 3:

Можно ли в «клетчатом» кубе 8 × 8 × 8 отметить 64 клетки так, чтобы в каждом слое кубиков, параллельном грани, было отмечено ровно 8 клеток, а среди любых 8 отмеченных клеток какие-то две обязательно находились в одном таком слое?

(А.~Вершик)

Задача 4:

Найдите все многочлены P(x,y) от двух переменных такие, что при любых x и y P(x + y,y – x) = P(x,y).

(А.~Голованов)

Задача 5:

2n-угольник A₁A₂ … A_2n вписан в окружность с центром O и радиусом 1. Докажите, что

(Ю.~Базлов)

Задача 6:

Пусть d(n) обозначает количество натуральных делителей числа n. Докажите, что последовательность d(n² + 1) ни с какого места не становится строго монотонной.

(А.~Голованов)

Задача 7:

В дружине 169 человек. Каждый день четверо из них выходят на дежурство. Может ли через некоторое время случиться, что любые двое отдежурили вместе ровно один раз?

(К.~Кохась)

Задача 8:

Можно ли в клетках таблицы 11 × 11 так расставить буквы П, А, С, чтобы в верхней строчке таблицы было написано: «ПАПАСПАСПСА», ни одна из остальных клеток, прилегающих к границе, не содержала бы букву С и чтобы ни в одной фигурке вида triminougolok (при любой её ориентации) не было трех различных букв?

(Н.~Филонов)