Задача 1:

Положительное число x удовлетворяет нера-вен-ству [x]² – x[x] + 3 ≤ 0. Докажите, что x ≥ 4.75. Как обычно, [x] обозначает целую часть числа x.

(А.~Храбров)

Задача 2:

В Клубе Любителей Вкусной Еды состоят 58 человек, причем каждый из них – либо толстый, либо тонкий. На очередное заседание каждый толстый член клуба принес 15 пончиков и раздал их тонким, а каждый тонкий принес 14 пончиков и раздал их толстым. Оказалось, что все толстые члены клуба получили поровну пончиков и все тонкие – тоже. Сколько среди членов клуба толстых и сколько тонких? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

(А.~Голованов)

Задача 3:

Две дробно-линейные функции f(x) и g(x) таковы, что f(x) – g(x) > 1997 для всех x, при которых обе функции определены. Докажите, что функция f(x) – g(x) постоянна на своей области определения (напомним, что дробно-линейной функцией называется частное двух линейных функций).

(А.~Голованов)

Задача 4:

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD равны. Кроме того,

Найдите  ∠ BAD.

(А.~Пастор)

Задача 5:

В клетках таблицы 100 × 100 расставлены числа. Известно, что в каждой строке можно выбрать не менее 10 различных чисел, а в любых трех подряд идущих строках имеется не больше 16 [15] различных чисел. Докажите, что в таблице всего не более 310 [260] различных чисел.

(С.~Иванов)