Задача 1:

Найдите наименьшее положительное число x, удовлетворяющее неравенству [x] • x ≥ 3. Как обычно, [x] обозначает целую часть x, x = x – [x] – дробная часть x.

(А.~Храбров)

Задача 2:

Сумма четырех корней квадратных трехчленов f и g с одинаковыми старшими коэффициентами равна нулю. Трехчлен f + g имеет два корня. Докажите, что сумма этих корней также равна нулю.

(С.Берлов)

Задача 3:

Из множества натуральных чисел от 1 до 1000 выбрано 860 чисел. Докажите, что произведение каких-то двух из них делится на 21.

(С.Берлов)

Задача 4:

Точки K и L на сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC таковы, что KL || BC. M – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках K и L к отрезкам AB и AC. Докажите, что A, M и центр O описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.

(А.~Храбров)

Задача 5:

В клетках таблицы 100 × 100 расставлены числа. Известно, что в каждой строке можно выбрать не менее 10 различных чисел, а из любых двух соседних строк нельзя выбрать больше 15 различных чисел. Докажите, что в таблице всего не более 505 различных чисел.

(С.~Иванов)