Задача 1:

Квадрат ABCD разбит на прямоугольники с одинаковыми периметрами, стороны которых параллельны сторонам квадрата. Известно, что диагональ AC пересекает все прямоугольники. Докажите, что и диагональ BD пересекает все прямоугольники.

(С.Берлов)

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4:

На доске написано натуральное число. Разрешается прибавлять к нему любой его натуральный делитель (в том числе единицу или само число) и результат записывать на доску вместо исходного числа. Какое наименьшее число таких операций достаточно для того, чтобы из любого первоначального числа можно было получить число, кратное 683? (Информация: 683 – простое число).

(Д.~Карпов)

Задача 5:

AB — наименьшая сторона остроугольного треугольника ABC. На сторонах BC и AC выбраны точки X и Y соответсвенно. Докажите, что длина ломаной AXY\!B не меньше удвоенной длины AB.

(С.Берлов)

Задача 6:

Задача 7:

Из квадрата размером 1999 × 1999 клеток вырезано несколько клеток так, что оставшуюся часть можно единственным способом разбить на прямоугольники 1 × 2. Докажите, что количество вырезанных клеток больше 1000.

(С.~Иванов)