Задача 1:

Можно ли расставить на клетчатой доске 16 × 16 полный комплект для игры в «морской бой» (1 кораблик 1 × 4, 2 кораблика 1 × 3, 3 кораблика 1 × 2 и 4 кораблика 1 × 1) так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?

(К.~Кохась)

Задача 2:

Назовем натуральное число куском/, если оно получается выписыванием подряд чисел от 1 до какого-нибудь натурального n > 1 (например, 123 или 123456789101112). Докажите, что произведение двух кусков — не кусок.

(А.~Голованов)

Задача 3:

На полях шахматной доски 8 × 8 расставлены натуральные числа. Аня заметила, что, если проводить фишку с клетки a1 на клетку h8, двигая ее каждый раз только вправо и вверх, сумма чисел на всех клетках, через которые пройдет путь фишки, одна и та же для всех путей. Света нашла, что на всех путях фишки, ходящей только вправо и вниз, с клетки a8 на клетку h1 суммы чисел также совпадают. А Катя сложила все числа на доске и получила 1000. Докажите, что кто-то из них ошибся.

(А.~Голованов)

Задача 4:

В Циссильвании 1999 жителей. Трое из них — вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь этими данными, м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.

(Муз. Ю.~Лифшица, сл. Р.~Семизарова, А.~Голованова)

Задача 5:

На поле a1 шахматной доски стоит король, а на полях a8 и h1 — две фишки. Двое играют по следующим правилам: первый своим ходом может походить королем на одну клетку по вертикали, горизонтали или диагонали, если эта клетка не занята фишкой. Второй может переставить одну из фишек на любую свободную клетку, кроме h8, или пропустить ход. Сможет ли первый игрок провести короля на клетку h8?

(С.~Берлов, Р.~Исмаилов)

Задача 6:

Можно ли расставить на окружности 100 натуральных чисел так, чтобы каждое из них было либо суммой, либо разностью соседних?

(Д.~Ростовский)