Задача 1:

Последовательность (x_n) натуральных чисел строится по следующему правилу: x₁ = 10¹⁹⁹⁹ + 1, а для каждого n ≥ 2 число x_n получается вычеркиванием первой цифры из числа 11x_n – 1. Является ли множество членов этой последовательности ограниченным?

(С.~Иванов)

Задача 2:

Число M — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Докажите, что любое натуральное число, меньшее M, можно представить в виде суммы не более n натуральных делителей числа M.

(А.~Голованов)

Задача 3:

Задача 4:

Задача 5:

Сколько существует 10-значных чисел, делящихся на 66667 и записываемых только цифрами 3, 4, 5 и 6?

(С.Берлов)

Задача 6:

В клетках таблицы 10 × 10 расставлены числа от 1 до 100 следующим образом: в нижнем горизонтальном ряду стоят числа от 1 до 10 в порядке возрастания, в следующем ряду — числа от 11 до 20 в порядке возрастания, и т.,д. Разрешается выбрать любые три клетки, стоящие подряд в горизонтальном, вертикальном или диагональном ряду, и либо прибавить 1 к числам в двух крайних клетках и вычесть 2 из числа в средней клетке, либо, наоборот, вычесть 1 в двух крайних клетках и прибавить 2 в средней. После выполнения серии таких операций оказалось, что в таблице опять стоят все числа от 1 до 100. Докажите, что их расположение совпадает с исходным.

(О.~Ванюшина)

Задача 7:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S с центром O. Биссектриса угла ABD пересекает AD и S в точках K и M соответственно. Биссектриса угла CBD пересекает CD и S в точках L и N соответственно. Известно, что прямые KL и MN параллельны. Докажите, что описанная окружность треугольника MON проходит через середину отрезка BD.

(С.Берлов)

Задача 8: