Задача 1:

Значения квадратного трехчлена ax² + 2bx + c отрицательны при всех x. Докажите, что значения трехчлена a²x² + 2b²x + c² при всех x положительны.

(А.~Голованов)

Задача 2:

Остаток от деления одного натурального числа на 11 равен остатку от деления другого на 13, а остаток от деления первого числа на 13 равен остатку от деления второго на 11. Докажите, что остаток от деления суммы этих чисел на 143 не превосходит 20.

(А.~Храбров, Д.~Ростовский)

Задача 3:

В трамвае ехало 60 человек, среди которых были контролеры, кондукторы, граждане, выдававшие себя за контролеров, граждане, выдававшие себя за кондукторов, и, возможно, обычные пассажиры. Общее количество лжеконтролеров и лжекондукторов в 4 раза меньше числа настоящих кондукторов и контролеров. Общее число контролеров (вместе с лжеконтролерами) в 7 раз больше числа кондукторов (в т. ч. лжекондукторов). Сколько в трамвае простых пассажиров?

(К. Кохась)

Задача 4:

Задача 5:

В треугольнике ABC  ∠ BAC = 60°. K – точка пересечения медианы CM и высоты BN. CK = 6 см, KM = 1 см. Найдите углы треугольника.