Задача 1:

Последовательности x₁,x₂, …  и y₁,y₂, …  заданы условиями x₁ = ⅛, , , . Докажите, что числа x_m и y_n не равны ни при каких натуральных m и n.

(А.~Голованов)

Задача 2:

AA₁ и BB₁ — высоты остроугольного треугольника ABC. Точки K и M — середины отрезков AB и A₁B₁ соответственно. Отрезки AA₁ и KM пересекаются в точке L. Докажите, что точки A, K, L и B₁ лежат на одной окружности.

Задача 3:

Задача 4:

Число N равно произведению 200 различных натуральных чисел. Докажите, что N имеет не меньше 19901 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

(А.~Голованов)

Задача 5:

Клетки квадрата 2000 × 2000 закрашивают по следующим правилам. В любой момент можно закрасить одиночную клетку, если ни одна из соседних с ней клеток еще не закрашена; или прямоугольник 1 × 2, если к этому моменту уже закрашены ровно две из соседних с ним клеток; или квадрат 2 × 2, если уже закрашены 8 соседних с ним клеток. (Соседними считаются клетки, примыкающие по стороне.) Можно ли закрасить весь квадрат?

(К. Кохась)

Задача 6:

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ — в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

(С.~Берлов)

Задача 7:

Будем называть натуральное число «почти простым», если оно не делится ни на одно простое число из интервала [3,19]. Будем называть число «очень непростым», если оно имеет хотя бы два простых делителя из интервала [3,19]. Какое наибольшее количество почти простых чисел можно выбрать так, чтобы любые два из них в сумме давали очень непростое число?

(С.~Берлов, С.~Иванов)