Задача 1:

Докажите, что из простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число.

(А.~Храбров)

Задача 2:

В клетках таблицы 100 × 100 расставлены целые числа. Оказалось, что в любом квадрате 2 × 2 суммы чисел, стоящих в противоположных углах квадрата, равны. Докажите, что тогда и в любом прямоугольнике суммы чисел, стоящих в его противоположных углах, равны.

(С.~Берлов)

Задача 3:

На доске написано 70 подряд идущих десятизначных чисел. Докажите, что сумма цифр первых двадцати из этих чисел больше суммы цифр последних десяти чисел.

(А.~Храбров)

Задача 4:

ABCD — выпуклый четырехугольник, в котором  ∠ CAD +  ∠ BCA = 180 и AB = BC + AD. Докажите, что  ∠ BAC +  ∠ ACD =  ∠ CDA.

Задача 5:

В Однобоком графстве между некоторыми (но, к сожалению, еще не между всеми) усадьбами проложены дороги с односторонним движением. При этом при появлении любой новой дороги (также с односторонним движением) между усадьбами, не соединенными дорогой до этого, появится возможность добраться от любой усадьбы до любой другой, не нарушая правил. Докажите, что такая возможность имеется уже сейчас.

(Д.~Ростовский)

Задача 6:

Написанное на доске число n можно заменить на одно из чисел 2n – 4, 3n – 8 или 8 – n. Можно ли за несколько таких операций из числа 41 получить число, большее 10000000, но меньшее 10000020?

(Ф.~Петров)

Задача 7:

Каждый день в группе из нечетного числа людей трое выходят на дежурство. Докажите, что можно составить такой график дежурств, что через некоторое время любые два человека побывают вместе ровно на трех дежурствах.

(А.~Косовская)