Задача 1:

С двух сторон дороги посадили два ряда по 1000 деревьев. На каждое дерево прибили табличку, в которой указано, сколько дубов среди этого дерева и его соседей слева и справа (у крайних деревьев — среди самого дерева и его единственного соседа). Оказалось, что две последовательности чисел на табличках совпадают. Докажите, что в обоих рядах дубы растут на одних и тех же местах.

(Д.~Ростовский, А.~Храбров)

Задача 2:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. На высоте AA₁ выбрана точка D такая, что A₁D = C₁D. Точка E — середина стороны AC. Докажите, что точки A, C₁, D и E лежат на одной окружности.

(С.~Берлов)

Задача 3:

F(x) = x²ººº – x¹ººº + 1. Существуют ли такие различные натуральные числа a₁, a₂, …, a₂₀₀₁, что F(a_i)F(a_j) делится на a_ia_j при всех i ≠ j?

(А.~Баранов)

Задача 4:

На координатной плоскости проведена 101 прямая и отмечены все точки их пересечения друг с другом. Может ли быть так, что на каждой из проведенных прямых лежат 50 отмеченных точек с положительными первыми координатами и 50 — с отрицательными?

(С.Иванов)

Задача 5:

На доске написаны натуральные числа 1, 2, …, 2000. Два игрока поочередно делают ходы по следующим правилам. Разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них a^b. Через некоторое время на доске останется одно число. Первый игрок выигрывает, если оно оканчивается на 2, 7 или 8, а второй — в противном случае. Кто выиграет при правильной игре?

(В.~Франк)

Задача 6:

Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке K, а продолжения стороны AB — в точке L. Другая вневписанная окружность касается продолжений сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямые KL и MN пересекаются в точке X. Докажите, что CX — биссектриса угла ACN.

(С.~Берлов)

Задача 7:

Сложностью последовательности a₁, a₂, …, составленной из нулей и единиц, называется наименьшее натуральное число k такое, что для некоторых натуральных чисел , , …, каждый член последовательности a_n, n > k, имеет ту же четность, что и . Последовательность a₁, a₂, … имеет сложность 1000. Какова может быть сложность последовательности 1 – a₁, 1 – a₂, …? (Укажите все возможные значения и докажите, что других нет).

(А.~Кириченко)