Задача 1:

Дима сложил из одинаковых кубиков прямоугольный параллелепипед (ребра кубиков равны 1), написал на бумажке числа 42, 48 и 82 и сказал, что это — объём, площадь поверхности и сумма длин всех ребер этого параллелепипеда, но не сказал, где какое число. Чему равны длины ребер диминого параллелепипеда?

(О.Ванюшина)

Задача 2:

Отрезки AM и BH — соответственно медиана и высота остроугольного треугольника ABC. Известно, что AH = 1 и 2 ∠ MAC =  ∠ MCA. Найдите длину стороны BC.

(Ф.~Бахарев)

Задача 3:

В соревнованиях по художественному скалолазанию каждая участница набрала целое число баллов. Известно, что победительница набрала ровно в 4 раза меньше баллов, чем все остальные участницы вместе взятые, скалолазка, занявшая третье место, набрала ровно в 9 раз меньше баллов, чем все остальные, а скалолазка, занявшая последнее место, набрала ровно в 10 раз меньше, чем все остальные. Сколько скалолазок участвовало в соревнованиях?

(С.~Берлов, С.~Иванов)

Задача 4:

Функция f задана при всех вещественных x и для любого x удовлетворяет неравенствам:

Известно, что f(3) = 2. Докажите, что уравнение f(x) = 2 имеет по крайней мере 2000 решений.

(А.~Храбров)

Задача 5:

В таблице 3 × 3 разрешается выбрать любую строку или столбец и домножить все числа, стоящие в выбранной строке (столбце), на произвольное положительное вещественное число. Может ли в результате применения нескольких таких операций из левой таблицы получиться правая?

(А.~Храбров)