Задача 1:

Учительница дала отличнице Кате четыре положительных числа. Катя написала на доске числа 3, 4 и 7 и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трех из четырех данных ей чисел. Докажите, что Катя ошиблась.

(Д.~Карпов)

Задача 2:

Перед боем с белогвардейцами у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Докажите, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.

(Д.~Карпов, Ю.~Лифшиц)

Задача 3:

Серединный перпендикуляр к стороне BC треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D, а продолжение за точку A стороны AC — в точке E. Докажите, что AD < AE.

(С.~Берлов)

Задача 4:

Задача 5:

Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма трех полученных остатков оказалась равна 39. Докажите, что остаток, полученный при делении на 3, равен 1.

(К. Кохась)