Задача 1:

Существуют ли такие различные числа x, y, z из [0, π /2], что шесть чисел  sin x,  sin y,  sin z,  cos x,  cos y и  cos z можно разбить на три двойки с равными суммами.

Задача 2:

В стране 2000 городов и полностью отсутствуют дороги. Докажите, что можно соединить дорогами некоторые города так, чтобы из двух городов выходило по одной дороге, из двух — по две дороги, из двух — по три, …, из двух — по 1000 дорог.

(Ф.Бахарев)

Задача 3:

Точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. На средних линиях C₁B₁ и A₁B₁ отмечены точки E и F так, что прямая BE содержит биссектрису угла AEB₁, а пряма BF — биссектрису угла CFB₁. Докажите, что углы BAE и BCF равны.

(Ф.Бахарев)

Задача 4:

Для любых натуральных чисел n > m докажите неравенство

где [x,y] — наименьшее общее кратное чисел x и y.

(А.Голованов)

Задача 5:

Точка I — центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, а точка H — ортоцентр этого треугольника. Точка M — середина меньшей дуги AC описанной окружности треугольника ABC. Оказалось, что MI = MH. Найдите угол  ∠ ABC.

(Ф.Бахарев)

Задача 6:

Найдите все такие функции , что для любых целых x и y выполняется соотношение f(x + y + f(y)) = f(x) + 2y.

(Ф.Петров)

Задача 7:

Из таблицы 20 × 20 вырезали прямоугольники 1 × 20, 1 × 19, …, 1 × 1. Докажите, что наибольшее количество прямоугольников 1 × 2, которое заведомо можно вырезать из оставшейс части таблицы равно 85.