Задача 1: На кошачьей выставке в ряд сидит 10 котов и 19 кошек, причём рядом с любой кошкой сидит более толстый кот. Докажите, что рядом с любым котом сидит кошка, которая тоньше его.

Решение:

Пусть каждая кошка укусит более толстого кота, сидящего рядом с ней, Любые 9 котов могли получить не более 18 укусов, значит каждый кот оказался укушенным, то есть рядом с ним сидит кошка, которая тоньше его.

Задача 2:

Докажите, что если цифры десятизначного числа выписать в обратном порядке, то полученное число не будет в три раза больше исходного.

Решение:

Предположим, что такое число нашлось. Его первая цифра может быть 1, 2 или 3 (потому что иначе в три раза большее число будет одиннадцатизначным).

Если первая цифра 1, то последняя – 7 (так как иначе при умножении на три на конце получится другое число – см. таблицу умножения на 3). Но тогда обращённое число получается более чем в три раза превосходит исходное.

Если первая цифра – 2 или 3, то последняя – 4 или 1, поэтому обращённое число получается слишком мало.

Задача 3:

Есть 10 монет, среди них ровно две фальшивые. Детектор R7 за одну операцию исследует три монеты и указывает на одну из них. Известно, что детектор не может указать на настоящую монету, если среди тестируемых монет есть хотя бы одна фальшивая. Как за шесть тестов выявить обе фальшивые монеты?

Решение:

Выберем три кучки по три монеты, протестируем каждую из них, и возьмём те три монет, на которые указал детектор. Среди них, очевидно есть хоть одна фальшивая. Протестируем эти монеты и таким образом определим одну из фальшивых. Вторая фальшивая монета может быть только среди тех четырёх монет, с которыми тестировалась найденная фальшивая или быть той монетой, которая ещё не была задействована. Среди этих пяти монет за два теста определить одну фальшивую уже совсем легко (каждый тест выявляет две настоящие монеты).

Задача 4:

На доске написано пять двузначных натуральных чисел. Чебурашка каждую минуту прибавляет ко всем числам единицу или (тоже ко всем числам) двойку. После того, как Чебурашка увеличивает числа, К. Гена может стереть какое-нибудь число, делящееся на 13, или число, сумма цифр которого делится на 7 (если, конечно, такое число на доске есть). Докажите, что при любых действиях Чебурашки Гена через некоторое время сумеет стереть с доски все числа.

Решение: Гена может найти пять пар не более чем пятизначных соседних чисел, так, чтобы в каждой паре он мог стереть любое число. Чебурашка сможет «провести» через одну такую пару не более одного числа, а значит все пять чисел Гена сможет стереть.

Подобных пар очень много, например годятся пары 142 и 143, 312 и 313, 3120 и 3121, 1312 и 1313, 69999 и 70000…

Задача 5:

На одной стороне улицы разбитых фонарей стояло 150 фонарей, причём среди любых трёх фонарей, стоящих подряд, хотя бы один был разбит. После того, как электрик Петров починил несколько фонарей, среди любых четырёх фонарей, стоящих подряд, осталось не более одного разбитого. Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей.

Решение: 1 способ. Разобьём фонари на 25 шестёрок подряд стоящих, и докажем, что в каждой из них был починеный фонарь. Предположим, что в какой-то шестёрке ни один фонарь не был починен. В такой шестёрке не менее двух разбитых фонарей (поскольку в каждой из двух троек, составляющих шестёрку, был разбитый фонарь), между которыми не менее трёх работающих фонарей (так как иначе можно будет указать четыре фонаря, среди которых хотя бы два разбитых). Но как раз трёх работающих фонарей подряд стоять и не может.

2 способ Посмотрим на фонари до прихода электрика. В каждой тройке подряд стоящих фонарей есть хотя бы один испорченный, значит всего испорченных фонарей не менее 50. Пронумеруем первые 50 испорченных фонарей слева направо и разобьём на пары: 1-й со 2-м, 3-й с 4-м, и т.д. (всего 25 пар) Между фонарями одной пары все фонари целые, а значит их не более двух. Поэтому один из испорченных фонарей, входящих в одну пару, надо починить.

Задача 6:

На Васиной чаше двухчашечных весов лежат гири весом 1 г, 3 г, …, 2001 г, а на Петиной чаше — 2 г, 4 г, …, 2000 г. Первым ходит Вася — он убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Петиной. Потом Петя убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Васиной. Затем опять ходит Вася, потом Петя, и так далее. Выигрывает тот, кто первым сможет убрать все гири со своей чаши. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Выигрывает Вася. Ему достаточно до последнего момента не убирать со своей чаши гирю весом 2001 г.