Задача 1: Существует ли двадцатизначное натуральное число такое, что если его цифры записать в обратном порядке, то полученное число будет ровно в три раза больше первоначального?

(А.Храбров)

Решение: Предположим, что такое число нашлось. Его первая цифра может быть 1, 2 или 3 (потому что иначе в три раза большее число будет одиннадцатизначным).

Если первая цифра 1, то последняя – 7 (так как иначе при умножении на три на конце получится другая цифра – см. таблицу умножения на 3). Но тогда обращённое число получается более чем в три раза превосходит исходное.

Если первая цифра – 2 или 3, то последняя – 4 или 1, поэтому обращённое число получается слишком мало.

Значит такого числа не существует.

Задача 2: Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF и BE длиннее.

(Ф.Бахарев)

Задача 3: Натуральные числа u и v таковы, что для любого натурального k числа ku + 2 и kv + 3 имеют общий натуральный делитель, больший 1. Чему может быть равно отношение ?

(А.Голованов, Д.Карпов, А.Пастор)

Решение:

.

Предположим, что 3u ≠ 2v. Тогда n = |3u – 2v| > 0. По условию, числа nu + 2 и nv + 3 делятся на некоторое натуральное число d > 1. Тогда числа 3(nu + 2) – 2(nv + 3) = n(3u – 2v) =  ± n² и (nu + 2) – (nv + 3) = n(u – v) + 1 также делятся на d, чего не может быть, так как эти числа взаимно просты.

Значит, сделанное предположение неверно и 3u = 2v. Тогда существует такое натуральное число x, что u = 2x, v = 3x и для всех натуральных k мы имеем

Задача 4:

Задача 5: В треугольнике ABC выполняется равенство BC = 2AC. На стороне BC выбрана такая точка D, что  ∠ CAD =  ∠ CBA. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла C в точке E. Докажите, что AE = AB.

(С.Берлов)

Решение:

Введем обозначения  α  =  ∠ BAC,  β  =  ∠ ABC =  ∠ CAE. Тогда  ∠ ACB = 180 –  α  –  β  и .

Пусть точка M — середина стороны BC. Тогда BM = MC = AC, следовательно, и

Нетрудно убедиться, что .

Таким образом,  ∆ BAM подобен  ∆ EAC по двум углам, следовательно, , то есть AB = AE.

Задача 6: В некотором государстве 2001 город, причем любые два города соединены прямым рейсом автобуса или поезда. Пользуясь только одним из этих двух видов транспорта невозможно объехать 16 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно. Докажите, что пользуясь только одним видом транспорта невозможно объехать 17 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно.

(А.Голованов, Д.Карпов)

Решение:

Предположим противное, пусть существует замкнутый циклический маршрут на одном из видов транспорта, последовательно проходящий по городам A₁, A₂, …A₁₇. Пусть этот вид транспорта — поезд. Рассмотрим города A_k и A_k + 2 (нумерация циклическая, т.,е. A₁₈ = A₁, A₁₉ = A₂, и т.,д.). Нетрудно заметить, что города A_k и A_k + 2 не могут быть соединены рейсом поезда (иначе существует цикл из 16 городов A₁, …, A_k, A_k + 2, …, A₁₇). Значит, для всех k от 1 до 17 города A_k и A_k + 2 соединены рейсом автобуса и существует замкнутый циклический маршрут на автобусе из 17 городов A₁, A₃, …, A₁₇, A₂, …, A₁₆.

Рассмотрим еще один город B. Если для некоторого k город B соединен с обоими городами A_k и A_k + 3 рейсами поезда, то существует циклический маршрут на поезде из 16 городов: B, A_k + 3, A_k + 4, …, A_k, что противоречит условию. Значит, город B должен быть соединен хотя бы с одним из двух городов A_k и A_k + 3 рейсом автобуса.

Если для некоторого k город B соединен с обоими городами A_k и A_k + 6 рейсами автобуса, то существует циклический маршрут на автобусе из 16 городов: B, A_k + 6, A_k + 8, …, A_k – 2, A_k, что противоречит условию. Значит, город B должен быть соединен хотя бы с одним из двух городов A_k и A_k + 6 рейсом поезда.

Отсюда ясно, что существует город A_n, соединенный с B рейсом поезда. Тогда рейсы BA_n – 3 и BA_n + 3 должны выполняться автобусом, что противоречит доказанному выше. Следовательно, не существует замкнутого циклического маршрута на одном из видов транспорта по 17 городам.

Задача 7: Колоду карточек с числами от 1 до 78 дают зрителю. Тот ее перемешивает, отбирает 40 карточек, отдает их первому фокуснику, а остальные оставляет себе. Первый фокусник выбирает из полученных карточек две и возвращает их зрителю. Зритель добавляет к этим карточкам одну карточку из своих тридцати восьми, и, перемешав, отдает эти три карточки второму фокуснику. Второй фокусник показывает, какая из карточек была добавлена зрителем. Объясните, как может быть показан такой фокус.

Решение: Фокусники любым способом разбивают 78 карточек на 39 пар и запоминают это разбиение. Какие бы 40 карт зритель ни отдал первому фокуснику, среди них обязательно окажутся две карты из одной пары (так как пар всего 39). Первый фокусник должен дать зрителю две карты из одной пары. Тогда карта, добавленная зрителем, будет из другой пары, и ее без труда сможет определить второй фокусник.