Задача 1:

f(x) и g(x) — квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что трехчлен f(x) + g(x) имеет два различных корня, и каждый из этих корней является также корнем уравнения g(x) – f(x)⁵ = 0. Докажите, что трехчлены f(x) и g(x) равны.

Решение: Рассмотрим корень x₀ многочлена f(x) + g(x), он будет также корнем (f(x) + g(x)) – (g(x) – f(x)⁵) = f(x)⁵ + f(x) = f(x)(f(x)⁴ + 1). Это означает, что x₀ – корень многочлена f(x), а, значит, и g(x) (поскольку g(x) = (f(x) + g(x)) – f(x)). Таким образом, оба корня трёхчлена g(x) являются также корнями трёхчлена f(x), стало быть эти трёхчлены совпадают.

Задача 2:

По кругу расставлены 100 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 45 чисел, стоящих подряд, равна 250. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.

Задача 3:

Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 200 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 50 (своих) шагов. Докажите, что шаги идущего Феди короче шагов бегущей Наташи.

Задача 4:

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC — в точке Y, а описанную окружность треугольника — в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AY = ZX.

Задача 5:

Можно ли бумажный прямоугольник размера 101 × 45 разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 7 × 9, 7 × 18 или 9 × 18?