Задача 1: Можно ли из полосок 1 × 1, 1 × 2, …, 1 × 10 сложить прямоугольник со сторонами больше 1?

Решение:

Да, можно: один из примеров представлен на рисунке. Его очень легко найти, посчитав сумму площадей прямоугольников.

1pt

Задача 2:

В детский садик завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано «НЯ», на остальных – «БА». Дети тут же взяли по три карточки и стали составлять из них слова. Оказалось, что слово «НЯНЯ» могут сложить из своих карточек 15 детей, слово «БАБА» – 20 детей, а слова «МАНЯ» – 30 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?

Решение: Ответ: у 5 ребят.

Заметим, что любой ребёнок может составить ровно одно из слов «МАМА" и «НЯНЯ». Поэтому всего ребят 20 + 30 = 50. Все три карточки одинаковы как раз у тех, кто не может составить слово «МАНЯ», поэтому таких детей 50 – 40 = 10.

Задача 3:

Найдите минимальное пятизначное число, все цифры которого различны, и которое делится на 73 без остатка.

Решение:

Ответ: 10295. Минимальное пятизначное число 10234 даёт при делении на 73 неполное частное 140. Ближайшее большее число, которое делится на 73 без остатка – 145 × 73 = 10293. Поскольку в этом числе все цифры различны, то оно и является ответом.

Задача 4:

На карте обозначено 4 деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок). В справочнике написано, что на маршрутах B–C–D и A–D–C по 12 колдобин, на маршруте A–C–B – 25 колдобин, а на маршруте B–A–C – 52 колдобины. Туристы хотят добраться из A в B так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо идти? Не забудьте доказать, что на указанном Вами маршруте действительно меньше всего колдобин.

1pt

Решение:

Ответ: Им надо идти по маршруту A–D–C–B.

Всего есть три пути, которые могут оказаться кратчайшими:

1. A–B;
2. A–C–B;
3. A–D–C–B;

Из того, что на маршруте A –  – C –  – B находятся 25 колдобин, следует, что на тропинке A –  – C никак не больше 25 колдобин, стало быть из 52 колобин маршрута B–A–C хотя бы 27 на тропинке A–B, то есть второй путь выгоднее первого.

Аналогично, поскольку на маршруте B –  – C –  – D 12 колдобин, то на тропинке BC не более 12 колдобин. Значит из 25 колдобин маршрута A–C–B не менее 13 приходится на тропинку A–C. Но на пути A –  – D –  – C всего 12 колдобин, поэтому третий путь выгоднее второго, а, значит, и первого.