Задача 1:

Можно ли из полосок 1 × 1, 1 × 2, …, 1 × 13 сложить прямоугольник со сторонами больше 1?

Решение: Да, можно: один из примеров представлен на рисунке. Его очень легко найти, посчитав сумму площадей прямоугольников.

1pt

Задача 2:

В детский садик завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано «МА», на остальных – «НЯ». Дети тут же взяли по три карточки и стали составлять из них слова. Оказалось, что слово «МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ» – 30 детей, а слова «МАНЯ» – 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?

Решение: Ответ: у 10 ребят.

Заметим, что любой ребёнок может составить ровно одно из слов «МАМА" и «НЯНЯ». Поэтому всего ребят 20 + 30 = 50. Все три карточки одинаковы как раз у тех, кто не может составить слово «МАНЯ», поэтому таких детей 50 – 40 = 10.

Задача 3:

Найдите минимальное пятизначное число, все цифры которого различны, и которое делится на 71 без остатка.

Решение:

Ответ: 10295. Минимальное пятизначное число 10234 даёт при делении на 71 неполное частное 144. Ближайшее большее число, которое делится на 71 без остатка – 145 × 71 = 10295. Поскольку в этом числе все цифры различны, то оно и является ответом.

Задача 4:

На карте обозначено 4 деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок). В справочнике написано, что на маршрутах A–B–C и B–C–D по 10 колдобин, на маршруте A–B–D – 22 колдобины, а на маршруте A–D–B – 45 колдобин. Туристы хотят добраться из A в D так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо идти? Не забудьте доказать, что на указанном Вами маршруте действительно меньше всего колдобин.

1pt

Решение:

Ответ: Им надо идти по маршруту A–B–C–D.

Всего есть три пути, которые могут оказаться кратчайшими:

1. A –  – D;
2. A –  – B –  – D;
3. A –  – B –  – C –  – D;

Из того, что на маршруте A –  – B –  – D находятся 22 колдобины, следует, что на тропинке B –  – D никак не больше 22 колдобин, стало быть из 45 колобин маршрута A –  – D –  – B хотя бы 23 на тропинке A –  – D, то есть второй путь выгоднее первого.

Аналогично, поскольку на маршруте A –  – B –  – C 10 колдобин, то на тропинке AB не более 10 колдобин. Значит из 22 колдобин пути ABD не менее 12 приходится на тропинку B –  – D. Но на пути B –  – C –  – D всего 10 колдобин, поэтому третий путь выгоднее второго, а, значит, и первого.