Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15.

Решение:

Сумма любых 12 чисел подряд равна 90. Т.,е. если из суммы всех чисел вычесть сумму любых двух стоящих подряд, получится 90. Значит, суммы любых двух чисел подряд одинаковы и равны 15. Поэтому каждое число меньше 15.

Задача 2: В лавке можно обменять шило на мыло, или 3 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 4 шила (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 16.

(С.Иванов)

Решение:

Пусть первая смена шила на мыло происходила a раз, смена 3 мыл на шило – b раз, и мыла на четыре шила – c раз. Поскольку количество мыла у Серёжи не изменилось, то a – 3b – c = 0. Точно также, отслежива операции с шилом, имеем, что  – a + b + 4c = 0. Складывая эти два уравнения, получаем, что 3c – 2b = 0, то есть , а значит c – чётное число. Из первого уравнения .

И, наконец, . Поскольку c, чётно, это означает, что a + b + c делится на 16.

Задача 3: На сторонах AB и BC треугольника ABC с углом  ∠ C = 40 выбраны точки D и E такие, что  ∠ BED = 20. Докажите, что AC + EC > AD.

(А.Пастор)

Решение: Продолжим сторону AC за точку C и отложим отрезок CF = CE. Тогда  ∠ EFC = 20 градусов, AF = AC + CE. Угол FDA — внешний в треугольнике BED, поэтому он больше 20. В треугольнике AFD сторона AD лежит против меньшего угла, чем сторона AF. Поэтому AF > AD.

Задача 4: Можно ли клетчатый бумажный квадрат 14 × 14 клеток разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 2 × 5 или 3 × 9 клеток?

(Д.Карпов)

Решение:

Пусть прямоугольников 2 × 5 – a штук, а прямоугольников 3 × 9 – b штук. Площадь квадрата равна 196 клеточек, значит 196 = 10a + 27b. Отсюда следует, что 27b заканчивается на 6, но минимальное такое число 27 • 8 = 216, что больше 196. То есть разбить квадрат требуемым образом не удастся.

Задача 5: Найдите все тройки натуральных чисел x, y, z такие, что xyz = 170170 и x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx².

(Ф.Бахарев)

Решение: Ответ: (1,1,170170), (1, 170170, 1), (170170, 1, 1).

170170 = 2 • 5 • 7 • 11 • 13 • 17 — свободно от квадратов. Второе уравнение раскладывается на множители: (x – y)(y – z)(z – x) = 0. Если, скажем, x = y, то 170170 делится на x², что возможно лишь при x = 1. Тогда y = 1, z = 170170.