Задача 1:

В клетках квадратной таблицы 10 × 10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено 10-значное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?

Задача 2:

По кругу расставлены 120 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 35 чисел, стоящих подряд, равна 200. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.

Решение: Обозначим числа, стоящие на окружности a₁, a₂,... a₁₂₀ (в порядке обхода), и докажем что a₁ ≤ 30.

Из условия следует, что любые числа x и y, между которыми расположены 34 других (обозначим их сумму через s), равны, поскольку 200 = x + s = y + s.

Будем обходить круг шагами по 35 чисел. Поскольку 35 • 7 = 120 • 2 + 5, то на седьмом шаге мы окажемся на 5 чисел левее числа, с которого начинали. Значит любые числа, стоящие через 5, равны. Таким образом, если a₁ > 30, в среди чисел a₁, a₂,…a₃₅ будет ещё 7 чисел больших 30, и уже они в сумме уже дают больше 200.

Задача 3:

Дан остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). E — точка пересечения перпендикуляра к стороне BC, восставленного в точке B, и перпендикуляра к основанию AC, восставленного в точке C. D — точка пересечения перпендикуляра к стороне AB, восставленного в точке A, с продолжением стороны BC. На продолжении основания AC (за точку C) отметили точку F так, что CF = AD. Докажите, что EF = ED.

(Ф.Бахарев)

Задача 4:

Решите систему уравнений в вещественных числах

Задача 5:

Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 400 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 100 (своих) шагов. Чьи шаги длиннее: идущего Феди или бегущей Наташи?

(Ф.Назаров)