Задача 1:

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых квадратных участков, 10 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год разрастается только на те участки, у каждого из которых не менее двух соседних уже заросли бурьяном (соседними считаются участки, имеющие общую сторону). Покажите, что может случиться так, что поле полностью зарастет бурьяном.

Задача 2:

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших, но вчера. А две большие и одна маленькая, но сегодня – столько же, сколько три больших и одна маленькая, но вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких, но сегодня, или пять маленьких, но вчера?

Задача 3:

У мудрого ламы было два ленивых ученика. Как-то лама решил их проучить и предложил сыграть в старинную игру. Они сели за круглый стол, на который было высыпано 1999 спичек. Ученику, который сел по левую руку от ламы разрешается за ход брать либо 1, либо 3, либо 5 спичек. Ученик, который сидит по правую руку от ламы, берет за ход либо 2, либо 4, либо 6 спичек. Лама, в силу своей мудрости, всегда берет ровно 1 спичку. Первый ход делает лама, затем ходы делаются по очереди по часовой стрелке. Тот, кто не может сделать ход, пропускает его. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Докажите, что лама обязательно выиграет, независимо от того, как будут играть ученики.

Задача 4:

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее сумму цифр 17, оканчивающееся на 17 и кратное 17 одновременно.

Задача 5:

В узлах сетки 3 × 100 стоят красные точки (в каждой строке – 100 точек и в каждом столбце – 3 точки). Сколько можно провести прямых, проходящих ровно через 3 красные точки?

Задача 6:

Можно ли поместить в квадрат 1 × 1 некоторое число непересекающихся кругов, сумма радиусов которых равна 1999?

Задача 7:

Аня, Боря, Вера и Гена пришли на новогодний бал и встали в хоровод именно в таком порядке. Через некоторое время они обнаружили, что в хороводе стоят 100 человек. Причем среди любых четырех подряд стоящих детей и четырех стоящих напротив ровно двое имеют имя Аня, ровно двое – Боря, ровно двое – Вера и ровно двое – Гена. Докажите, что в хороводе мальчики и девочки чередуются.