Задача 1:

а) Кот Леопольд написал на листе бумаги цифру 9. Мыши получают девятизначные числа, записывая каждый раз за последней цифрой либо ее же, либо цифру, меньшую ее на 1 (например, так можно получить число 998766543). Сколько различных девятизначных чисел могут получить мыши?

б) Найдите, сколько раз встречается каждая цифра среди последних цифр этих чисел.

в) Найдите, сколько раз встречается цифра 7 в этих числах.

г) Леопольд нашел сумму всех этих чисел. Какой остаток она может давать при делении на 9?

Задача 2:

Хрюша нарисовал на листе ватмана четырехугольник. Потом он взял кальку и перевел на нее все стороны и все углы этого четырехугольника (каждый элемент на свой лист). Теперь Хрюша показывает своим друзьям разные листы кальки и предлагает восстановить четырехугольник. В этом сюжете все построения должны проводиться циркулем и линейкой. Во всех пунктах требуется доказательство того, что построенная фигура является искомой.

а) Постройте четырехугольник по трем углам и двум смежным сторонам. Сколько различных решений имеет эта задача?

б) Постройте четырехугольник по трем углам и двум противоположным сторонам. Сколько различных решений имеет эта задача?

в) В четырехугольнике заданы четыре стороны. Какое наименьшее количество углов надо задать для того, чтобы количество таких четырехугольников было конечно? Постройте их.

г) В четырехугольнике заданы три стороны. Какое наименьшее количество углов надо задать для того, чтобы количество таких четырехугольников было конечно? Постройте их.

Задача 3:

а) Есть два натуральных числа, сумма которых равна 120. Всегда ли числа 1,2,3,...,15 можно распределить на две группы так, чтобы сумма чисел в первой группе равнялась бы первому числу, а во второй – второму?

б) Есть три различных натуральных числа, сумма которых равна 21. Всегда ли числа 1,2,3,...,6 можно распределить по 3 группам так, чтобы сумма чисел в первой группе равнялась бы первому числу, во второй – второму, и в третьей – третьему?

в) Изменится ли ответ, если среди исходных чисел могут быть равные?

г) Пусть a, b и c – различные натуральные числа, сумма которых равна . Всегда ли числа 1,2,3,..., n можно разбить на группы так, чтобы сумма чисел в первой группе равнялась a, во второй – b, в третьей – c?