Задача 1: Найдите 11 последовательных чисел, сумма которых делится на 31.

Задача 2: Перед началом урока учитель написал на доске какое-то целое число от 5 до 15. После этого дети по очереди сказали следующее:

Первый: «Это число меньше 1.»

Второй: «Это число меньше 2.»

…Девятый: «Это число меньше 14.»

Десятый: «Это число меньше 15.»

Одиннадцатый: «Это число больше 15.»

…Двадцатый: «Это число больше 1.»

Сколько раз ребята сказали правду? Найдите все варианты и покажите, что других нет.

Задача 3: Дорожный рабочий должен замостить площадку 6 на 10 метров. Однако на складе есть только плитки вида (сторона клеточки имеет длину 1 метр). У рабочего есть старая изношенная пила, которая сможет еще сделать распил длиною 1 метр, после чего станет негодной. Сможет ли рабочий замостить площадку?

Задача 4: У продавца есть много гирек весом 20 г, 28 г, 35 г. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах отвесить 197 г товара (класть гирьки на чашу с товаром запрещается, других гирек у продавца нет)?

Задача 5: План садоводческого кооператива «Фанатик» представляет собой прямоугольник 8 × 7 (клетками являются садоводческие участки). Осенью было организовано соревнование на звание «лучший огородник», в ходе которого выяснилось, что все садоводы собрали различное число яблок. В соревновании очки начислялись следующим образом: каждый садовод сравнил количество собранных им яблок, с количеством яблок, собранных каждым из его соседей, и записал себе столько баллов, сколько раз его количество яблок оказывалось большим. Докажите, что есть два соседа, баллы которых отличаются не более, чем на два (или не отличаются вообще).