Задача 1:

а) Ребра сетки хотят покрасить в два цвета – синий и зеленый так, чтобы у любого узла было ровно два зеленых ребра. Можно ли так покрасить сетку 8 × 8 (выглядит как квадрат 7 × 7)?

б) А можно ли это сделать с сеткой 9 × 9?

в) Чему будет равно количество зеленых ребер в сетке n × n, если известно, что ее можно покрасить таким образом?

г) Придумайте критерий, позволяющий определить, можно ли так покрасить сетку m × n.

Задача 2:

а) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет BC равен 14 см, а гипотенуза AB – 28 см. Через точку B проведена прямая под углом 75 к гипотенузе. На этой прямой отметили точку M находящуюся на расстоянии 24 см от прямой AC. Найдите расстояние CM.

б) Изменив числа, данные в условии задачи, добейтесь того, чтобы ответом являлось число 1999.

в) Изменив одно из условий задачи, добейтесь того, чтобы задача не имела решений.

г) Сделайте так, чтобы задача имела бесконечно много решений.

Задача 3:

а) Из доски 13 × 13 клеток вырезали угловую клетку. Можно ли получившуюся фигурку разрезать на прямоугольники 1 × 4?

б) Удастся ли разрезать, если была вырезана клетка, соседняя с угловой по диагонали?

в) Решите исходную задачу в случае, если вырезана центральная клетка.

г) Разберите случай, когда вырезается клетка, соседняя (по стороне) со стоящей на краю доски.

д) При каких местоположениях вырезаемой клетки оставшуюся часть на заданные прямоугольники разрезать можно, а при каких – нельзя?