Задача 1: Точечный прожектор освещает угол 45°. Какое наименьшее количество прожекторов можно поставить внутри квадратной площадки так, чтобы полностью ее осветить? На границу квадрата прожекторы ставить нельзя.

Решение: Тремя прожекторами осветить всю площадку нельзя, так как в этом случае какой-то прожектор должен освещать 2 угла, а значит полностью освещать некоторую сторону. Но тогда он должен находится на окружности, описанной около квадрата, что невозможно.

Четырех прожекторов хватит. В самом деле, если разместить прожекторы в точках пересечения вписанной окружности с диагоналями квадрата, то каждый прожектор полностью осветит противолежащую ему четверть площадки.

Ответ: 4 прожектора.

Задача 2: Решить уравнение:

Решение:

В случаях  |  cos x |  = 1 и  cos x = 0 уравнение решений не имеет. Если  |  cos x |  =  |  sin x | , то имеем  cos ²x =  sin ²x,  cos 2x = 0, . При 0 <  |  sin x |  <  |  cos x |  < 1 имеем и уравнение корней не имеет. Наконец, при 0 <  |  cos x |  <  |  sin x |  < 1 аналогично получаем .

Ответ: .

Задача 3: В прямоугольнике 3 × 4 произвольным образом отмечено 6 точек. Докажите, что среди них обязательно найдутся две точки, расстояние между которыми не превышает .

Решение:

Разобьем прямоугольник на единичные квадраты (cм. рис.8). Eсли в некотором прямоугольнике 1 × 2 лежат две точки, то расстояние между ними не больше . Пусть в любом таком прямоугольнике не более одной точки. Тогда хотя бы одна точка попадет в один из закрашенных квадратов (так как остальная часть разбивается на 5 прямоугольников 1 × 2), а значит в некотором квадрате 3 × 3 окажутся остальные 5 точек. Разобьем этот квадрат средними линиями на 4 квадрата, с диагональю каждый. В некоторый такой квадрат обязательно попадут 2 точки, которые и будут искомыми.

Задача 4: На доске записано N (N > 5) натуральных чисел. Наибольшее из них не превышает 1996, а у любых пяти из них есть общий делитель, отличный от 1. Докажите, что все записанные на доске числа имеют общий делитель, отличный от 1.

Решение: Предположим противное, то есть пусть у чисел a₁, a₂, … , a_N нет общего делителя. Рассмотрим число a₁. Так как оно не превосходит 1996 < 2*3*5*7*11 = 2310, среди его делителей не более 4 простых. Пусть p₁, p₂, p₃, p₄ – его простые делители, и пусть n_i (1 ≤ i ≤ 4) – такие номера, что не делятся на p_i (такие номера найдутся, так как p_i не является общим делителем чисел a₁, a₂, … , a_N). Тогда пятерка чисел не может иметь общего делителя, отличного от 1, вопреки условию.

Примечание. Как видно из доказательства, в условии задачи достаточно было полагать, что наименьшее из чисел не превосходит 1996.