Задача 1: В треугольнике ABC провели все медианы. Оказалось, что у четырех из шести полученных треугольников равны радиусы описанных окружностей. Верно ли, что треугольник ABC

а) равнобедренный?

б) равносторонний?

Решение: Без ограничения общности, пусть у треугольников BOA₁ и COA₁ (cм. рис.13) равны радиусы описанных окружностей. Так как их площади равны (OA₁ – медиана треугольника BOC), из формулы (a, b, c, – cтороны треугольника, S и R – площадь и радиус описанной окружности соответственно) получаем равенство отрезков BO и CO, что обеспечивает равнобедренность ABC. Далее возможны два случая: 1) равные радиусы описанных окружностей имеют треугольники BOA₁ и BOC₁ и 2) треугольники BOA₁ и AOB₁. В первом случае, так как треугольник BOA₁ прямоугольный, отрезок OB является диаметром окружности описанной около четырехугольника OA₁BC₁, поэтому CC₁ – высота ABC, и треугольник правильный. Во втором случае из уже упоминавшейся формулы получаем равенство отрезков BA₁ и AB₁ (здесь использовался факт, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1), что опять показывает правильность треугольника ABC.

Задача 2: Обозначим Известно, что и при любом i = 1,2, … ,n. Докажите неравенство:

Решение: Так как при всех выполнено имеем: Остается заметить, что равенство невозможно, так как хотя бы одно x_i обязано быть положительным.

Задача 3: В турнире, проходящем по олимпийской системе (с выбыванием), участвуют 512 теннисистов. Перед началом турнира каждому участнику присвоен номер от 1 до 512 в соответствии с его рейтингом. Матч считается неинтересным, если разность присвоенных номеров двух спортсменов, участвующих в нем, больше 30. Докажите, что независимо от жеребьевки и результатов игр, будет сыгран хотя бы один неинтересный матч.

Решение: Предположим, что удалось провести турнир без неинтересных матчей. Тогда в первом туре участник с номером 1 играл с теннисистом, номер которого не более 31, поэтому наименьший номер среди теннисистов, прошедших во второй тур не более 31. Аналогично, наибольший номер среди этих участников не менее 482. К третьему туру эти номера будут 61 и 452, к четвертому – 91 и 422 и.т.д. К последнему девятому туру останется два игрока: один с номером не более 241, второй с номером не менее 272. В этом случае финальный матч неинтересен, что противоречит предположению.

Задача 4: 100 первых натуральных чисел в каком-то порядке записали в ряд и вычислили 98 сумм, получаемых при сложении троек подряд идущих чисел. Какое наибольшее количество нечетных сумм может получиться?

Решение: Если сначала записать 75 чисел в порядке ччнччнччн … ччн (здесь «ч» обозначает четное число, «н» – нечетное), а затем оставшиеся 25 нечетных чисел, то все суммы кроме одной окажутся нечетными. Покажем, что хотя бы одна четная сумма встретится. Пусть это не так. Тогда в зависимости от четности чисел, стоящих на первом и втором месте, возникает одна из четырех последовательностей: 1) нннн … нн, 2) нччнчч … нччн, 3) чнччнч … чнчч и 4) ччнччн … ччнч, однако ни в одной из них не получается поровну четных и нечетных чисел, поэтому все они нелегальны.

Ответ: 97 сумм.