Задача 1: В выпуклом многоугольнике каждый внутренний угол измеряется целым числом градусов. Докажите, что число сторон этого многоугольника не превосходит 360.

Решение:

Пусть n – число сторон такого многоугольника. Тогда сумма его внутренних углов равна S = 180°(n – 2). В силу условия каждый внутренний угол многоугольника не превосходит 179°, поэтому S ≤ 179°n. Из неравенства 180°(n – 2) ≤ 179°n следует, что n не превосходит 360.

Задача 2: Пусть a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, d ≥ 0, c + d ≤ a, c + d ≤ b. Докажите, что ad + bc ≤ ab.

Решение: Перемножая почленно неравенства c ≤ a – d и d ≤ b – c (это делать можно, так как обе части нервенств неотрицательны), немедленно получаем требуемое утверждение.

Задача 3: Двое движутся по окружности навстречу друг другу. Один пробегает окружность за 3 минуты, а другой – за 5 минут. Через сколько минут происходит каждая встреча?

Решение: Пусть l – длина окружности, и t – время между встречами. Тогда скорости бегунов равны и cоответственно, поэтому откуда t = 1⅞ мин.

Задача 4: Решите в целых числах уравнение: 4x³ = 2y³ + z³.

Решение: Пусть x₀, y₀, z₀ – некоторое решение данного уравнения. Тогда z₀ четно, т.е. z₀ = 2z₁ для некоторого целого z₁. Отсюда Рассуждая аналогично, получим: y₀ = 2y₁ и x₀ = 2x₁, причем числа x₁, y₁, z₁ удовлетворяют исходному уравнению. Продолжая этот процесс, получаем, что числа x₀, y₀, z₀ делятся на 4, на 8, на 16 и вообще на любую степень числа 2. Это возможно только при x₀ = y₀ = z₀ = 0.

Ответ: x = y = z = 0.