Задача 1: В трапеции ABCD (AD параллельна BC) точка M – середина AD, точка N – середина CD, и точка O – точка пересечения прямых AN и BM. Докажите, что S_ABO = S_MOND.

Решение: Основание AM треугольника ABM в 2 раза больше основания AD треугольника AND (см.рис.1), а высота NF в 2 раза меньше высоты BK. Поэтому S_ABM = S_AND. Вычитая из обеих частей этого равенства S_AOM, получаем утверждение задачи.

Задача 2: Выражение (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ разложите в произведение трех неодинаковых сомножителей.

Решение: [(a – b)³ + (b – c)³] + (c – a)³ = (a-b+b-c)[(a-b)^2 -(a-b)(b-c)+(b-c)^2]+(c-a)^3=(a – c)(3b² – 3ab + 3ac – 3bc) = 3(a – c)(b – a)(b – c).

Задача 3: Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что любое из этих чисел делится на 5.

Решение: Обозначим сумму всех семи натуральных чисел a₁, a₂, … ,a₇ через A. Тогда при любом n (1 ≤ n ≤ 7) в силу условия числа A – a_n делятся на 5. Следовательно, и их сумма A – a₁ + A – a₂ +  …  + A – a₇ = 7A – a = 6A делится на 5. Поэтому A делится на 5 и при любом n числа a_n = A + (a_n – A) также делятся на 5.

Задача 4: В школу поступили 5 мешков с мукой. В школе были весы, но не хватало гирь, чтобы отвесить груз между 50кг. и 100кг. Вес каждого мешка составлял целое число килограммов. Мешки стали взвешивать парами, веса которых составили 110кг., 112кг., 113кг., 114кг., 115кг., 116кг., 117кг., 118кг., 120кг., 121кг. Сколько весил каждый мешок в отдельности?

Решение:

Обозначим массы мешков A > B > C > D > E. Тогда D + E = 110, C + E = 112, A + B = 121, A + C = 120. Сложив всевозможные попарные суммы, получим пятое уравнение: 4(A + B + C + D + E) = 1156, то есть A + B + C + D + E = 289. Вычитая из последнего уравнения первое и третье, находим C = 58. Тогда A = 62, B = 59, E = 54, D = 56. Непосредственной проверкой убеждаемся, что найденные веса действительно соответствуют условию задачи.