Задача 1: N пятаков (N ≥ 5) лежат гербами вверх. За один ход разрешается перевернуть любые N – 1 пятаков. Для каких N можно за несколько шагов добиться того, чтобы все пятаки легли гербами вниз?

Решение:

Ответ: для всех четных N. В самом деле, если N четно, достаточно N шагов: на i-м шаге переворачиваем все пятаки, кроме i-го. Если же N нечетно, то число пятаков, лежащих гербами вверх, все время остается нечетным, поэтому отличным от нуля.

Задача 2: Можно ли в таблицу N × (N – 1) вписать натуральные числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке имела вид , а в каждом столбце – 14m_j + 5, где k_i и m_j – некоторые натуральные числа.

Решение:

Нет, нельзя. Действительно, предположим, что можно, и пусть сумма чисел в i-ой строке равна , а в j-м столбце – 14m_j + 5, где k_i и m_j – некоторые натуральные числа. Пусть S – сумма чисел во всей таблице. Тогда с одной стороны,

поэтому S и N имеют одинаковую четность. Но с другой стороны

откуда S и N – 1 имеют также одинаковую четность. Противоречие.

Задача 3: Найти все значения параметра a, при которых неравенство x² + 5|x + a| ≥ a² справедливо для любого x.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности систем

и уравнения x + a = 0. Решение первой системы – x >  max  – a,a – 5, а решение второй – x <  min  – a,a + 5. При так как a – 5 ≤  – a ≤ a + 5, любое x ≠  – a хотя бы одной из систем удовлетворяет. Если то не удовлетворяет ни одной из систем. При таким числом будет .

Ответ: .

Задача 4: Назовем пузатостью прямоугольника отношение длины меньшей стороны к длине большей стороны. Разрежем квадрат произвольным образом на конечное число прямоугольников, стороны которых параллельны сторонам квадрата. Докажите, что сумма пузатостей всех прямоугольников не меньше 1.

Решение: Без ограничения общности, пусть разрезаемый квадрат единичный. Пусть также a_i и b_i меньшая и большая сторона i-го прямоугольника, а всего прямоугольников – N. Утверждение задачи следует тогда из цепочки неравенств:

где S_i – площадь i-го прямоугольника, а S – площадь исходного квадрата.