Задача 1: Найти все простые числа p, такие что число |p² – 22| также простое.

Решение:

Непосредственно убеждаемся, что p = 3 удовлетворяет условию задачи. Пусть p ≠ 3. Тогда, так как p простое, p = 3n ± 1, и  | p² – 22| = |9n² ± 6n – 21| делится на 3. Так как |p² – 22| – простое число, то оно равно 3, откуда p = 5.

Ответ: p = 3 или p = 5.

Задача 2: Докажите, что для всех положительных чисел a, b c и d выполнено неравенство:

Решение:

Так как обе части неравенства неотрицательны, то после возведения в квадрат полуаем равносильное неравенство: , которое сводится к неравенству: , которое справедливо, так как среднее арифметическое не меньше среднего геометрического.

Задача 3: На бесконечном листе клетчатой бумаги в каждой клетке записано натуральное число так, что оно равно среднему арифметическому всех своих восьми соседей. Докажите, что все числа на этом листе равны между собой.

Решение: Пусть n₀ – наименьшее из записанных чисел (такое число существует, так как все числа натуральные). Пусть a_i, i ≤ 8 – его соседи. Имеем: a_i ≥ n₀, где i ≤ 8 и . Отсюда все a_i = n₀. Рассужджая аналогично, получим, что числу n₀ равны также и все соседи его соседей, и их соседи, и.т.д., значит вообще все числа.

Задача 4: На плоскости заданы отрезки длинами a см., b см., и 1 см. С помощью циркуля и линейки отложить отрезки длиной

а) см.

б) ab см.

Решение: Достаточно построить чертеж, как на рисунке. Пусть b < 1 (другие случаи аналогичны). Тогда если AC₁ = b, AC = 1, C₁B₁ = a, то . Если же AC₁ = a, CB = b, C₁B₁ = 1, то AC = ab.