Задача 1: Найти все пары a и b, для которых неравенство ( cos 2x – a – b cos x)² ≤ 1 выполнено для всех x.

Решение:

Обозначим t =  cos x. Тогда условие задачи будет выглядеть следующим образом: найти все пары чисел a и b при которых для всех t ∈ [0;1] справедливо неравенство: |2t² – 1 – a – bt| ≤ 2. Пусть f(t) = 2t² – a – bt. График f(t) – парабола с ветвями, направленными вверх и с вершиной в точке поэтому наибольшее значение f(t) достигается на одном из концов отрезка, а наименьшее – либо тоже на одном из концов (при |b| > 4), либо в точке (в противном случае). Имеем совокупность систем:

Изобразив соответствующие множества на плоскости XOY, убеждаемся, что первая система решений не имеет, а вторая имеет единственное решение a = b = 0.

ОТВЕТ: при a = b = 0.

Задача 2: С помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC по стороне AB, углу C и сумме сторон AC + BC.

Решение: Напомним, что множество точек плоскости, из которых отрезок AB виден под углом  α , есть объединение двух дуг окружностей (см. рисунок).

Пусть задача решена. Продолжим сторону BC и отложим на ней отрезок CC₁ = CA. Так как треугольник ACC₁ равнобедренный,

Задача 3: Докажите, что многочлен x^3m + x^3n + 1 + x^3p + 2 делится на x² + x + 1 при любых натуральных числах m, n и p.

Задача 4: N кубов в пространстве расположены так, что все их ребра параллельны осям координат, и любые два куба имеют общую точку. Докажите, что пересечение всех кубов непусто.