Задача 1: Решить систему:

Решение: Возведя оба уравнения в квадрат и почленно их сложив, получим: 2x² + 2y² = 0, откуда x = y = 0. Проверка показывает, что данная пара действительно является решением.

Задача 2: Точка F – середина боковой стороны трапеции ABCD. Найдите отношение площади треугольника CFD к площади всей трапеции ABCD.

Решение:

Пусть высота трапеции h. В зависимости от обозначений возможны три случая (см. рисунок). В случае, изображенном на рис. a, треугольник CFD вырожденный, и искомое отношение равно 0. Если имеет место рис.b, то а поэтому искомое отношение равно и может принимать любое значение от 0 (при неограниченно большом AB) до ½ (при AB стремящимся к нулю). Наконец, в последнем случае проведем FL – среднюю линию трапеции (см. рис. c). Тогда а откуда искомое отношение равно ½.

ОТВЕТ: любое число из отрезка [0;½].

Задача 3: Докажите, что уравнение y² = 5x² + 6 не имеет решений в целых числах.

Решение:

Eсли x делится на 3, то y также должно делится на 3, тогда 6 = y² – 5x² делится на 9 – противоречие. Если же x = 3m ± 1, то x² при делении на 3 дает в остатке 1, тогда 5x² + 6 при делении на 3 дает в остатке 2, поэтому не может являться квадратом целого числа.

Задача 4: Плоскость раскрашена a) в 2; b) в 3; c) в 100 цветов. Докажите, что на плоскости существует прямоугольник, все вершины которого окрашены в один и тот же цвет.

Решение:

Докажем сразу пункт с).

Назовем i-м столбцом (i натуральное число) множество точек плоскости с координатами (i,n), где n ≤ 101 и n – натуральное. 101 точку можно раскрасить в 100 цветов ровно 100¹º¹ различным способом, поэтому среди первых 100¹º¹ + 1 столбцов найдутся два (скажем, i₁ и i₂) раскрашенных одинаково столбца. Но среди 101 точки i₁-го найдутся две окрашенных в один цвет. Пусть их ординаты n₁ и n₂. Тогда точки (i₁,n₁), (i₁,n₂), (i₂,n₂), и (i₂,n₁) окрашены в один цвет и, очевидно, являются вершинами прямоугольника.

Примечание: как видно из доказательства, утверждение справедливо для любого числа цветов.