Задача 1:

Найти все тройки ненулевых чисел a, b и c, образующих арифметическую прогрессию и таких, что из чисел , , также можно составить арифметическую прогрессию.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: По свойству арифметической прогрессии имеем a + c = 2b и одно из следующих уравнений

Первый случай приводит к уравнению b² = 2ac, которое не имеет решений при a + c = 2b; два других приводят к одному и тому же ответу: все тройки вида  – 2t,  – 0,5t, t, где t ≠ 0.

Ответ:  – 2t,  – 0,5t и t при t ≠ 0.

Задача 2:

Найдите тройки чисел a, b и c, являющиеся степенями пятёрки с целыми неотрицательными показателями, такие, что приписывая десятичную запись одного из них к десятичной записи другого, получим третье число.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: Пусть a = 5ⁿ,b = 5^m,c = 5^k и в числе b, ровно t десятичных знаков. Имеем уравнение: 5ⁿ • 10^t + 5^m = 5^k. Очевидно, m < k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2^t + 5^{m – n – t} = 5^k – t, либо 5^{n – m + t} • 2^t + 1 = 5^k – m. Первое уравнение имеет единственное решение в целых числах t = 2, m – n – t = 0, k – t = 1, откуда b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 и искомые числа – 1, 25, 125. Второе уравнение выполняется только при n – m + t = 0, что приводит к предыдущему случаю.

Ответ: 1, 25 и 125.

Задача 3:

В вершинах и точках пересечения диагоналей правильного пятиугольника записаны нули. За один ход разрешается добавить  + 1 или  – 1 одновременно ко всем числам, расположенным на какой-либо из диагоналей пятиугольника. Какие из указанных на рисунках пятиугольников можно получить через несколько ходов?

=0.5mm em:linewidth 0.4pt 0.4pt

((Предложена С.Э.Нохриным.))

Решение: Занумеруем диагонали пятиугольника числами от 1 до 5, и пусть x_i – число добавленных единиц к i-ой диагонали. Число в любой вершине (точке пересечения диагоналей) равно сумме чисел x_i по всем i таким, что i-ая диагональ проходит через эту вершину (точку пересечения диагоналей). Имеем систему десяти уравнений с пятью неизвестными, которая оказывается несовместной во всех изображённых на рисунках случаях.

Ответ: никакой пятиугольник получить нельзя.

Задача 4:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты: AH, BK и CL. Найдите периметр треугольника HKL, если известны высота AH = h и угол  ∠ BAC =  α .

((Предложена В.Н.Ушаковым.))

Решение: Прямые KL, KH и HL (см. рис.) отсекают от  ∆ ABC треугольники, подобные  ∆ ABC. Действительно,  ∆ CHA ∽  ∆ CKB по I признаку подобия треугольников (2 равных угла). Отсюда . Но тогда  ∆ KHC ∽  ∆ BAC по II признаку подобия треугольников (пропорциональность сторон и равенство углов между этими сторонами). Аналогично доказывается, что  ∆ AKL ∽  ∆ ABC и  ∆ BHL ∽  ∆ ABC. Итак, имеем  ∠ HLB =  ∠ ALK =  ∠ C,  ∠ AKL =  ∠ CKH =  ∠ B. Тогда точки H′ и H″, симметричные точке H относительно прямых AB и AC, соответственно, лежат на прямой KL. Действительно,  ∠ HLB =  ∠ H′LB (т.к.  ∆ HLO′ =  ∆ H′LO′), но  ∠ HLB =  ∠ ALK, отсюда  ∠ ALK =  ∠ H′LB, а значит точки K, L, H′ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается, что H″, K, L лежат на одной прямой. Отрезок H″H′ равен периметру  ∆ KLH (KH = KH″, и LH = LH′). Рассмотрим теперь  ∆ H″AH′. Он равнобедренный, т.к. AH′ = AH = AH", а  ∠ H″AH′ = 2 • ( ∠ CAH +  ∠ BAH) = \  = 2 α . Отсюда H″H′ = 2AH′ sin \, α . Итак, периметр  ∆ KLH равен 2h sin \, α .