Задача 1:

Докажите, что для любого натурального числа n справедливо двойное неравенство:

(Предложена С.А.Аникиным.)

Решение: Так как слагаемых n и каждое из них больше или равно , то Оценка сверху получается индукцией по n. Действительно, при n = 1 неравенство справедливо. Допустим, что оно справедливо при n = k + 1. Тогда Нужно доказать, что или По предположению индукции, достаточно доказать, что Но это эквивалентно неравенству , и , которое очевидно.

Задача 2:

Пусть a₁,a₂, … ,a_n, …  – произвольная последовательность вещественных чисел. Для натурального n обозначим через f_n(x) функцию f_n(x) =  sin (2ⁿx – a_n).

а) Докажите, что для любого натурального k найдётся такое число x, что все числа f₁(x),f₂(x), … ,f_k(x) положительны.

б) верно ли аналогичное утверждение, если вместо f_n(x) рассматривать функции g_n(x) =  sin (nx – a_n)?

(Предложена М.Ф.Прохоровой.)

Решение: а) Зафиксируем натуральное k. Пусть точка x такова, что ни одна из функций f_i в ней не равна нулю и f_k(x) > 0. Пусть n – наибольший не превосходящий k номер с условием f_n(x) < 0. Положим . Непосредственной подстановкой проверяется, что f_n(y) =  – f_n(x) > 0, и что f_i(y) = f_i(x) > 0 при всех i от n + 1 до k. Повторяя эту операцию столько раз, сколько необходимо (ясно, что не более k раз) найдём точку, в которой все числа f₁, f₂, f_k положительны.

б) Нет, неверно. Достаточно рассмотреть функции и g₃ =  sin (3x –  π ).

Задача 3:

По окружности на равном расстоянии друг от друга расставлено 2n корзин с яблоками, причём число яблок в любых двух соседних корзинах отличается ровно на 1. При каких натуральных n можно гарантировать, что найдутся две диаметрально противоположные корзины, содержащие поровну яблок?

(Предложена С.Э.Нохриным.)

Решение: Заметим, что при переходе к соседней корзине четность числа яблок в ней меняется. Таким образом, если n – нечетное число, то в корзине напротив четность числа яблок будет другой. Значит при нечетном n найти указанную пару нельзя.

Пусть теперь n – четное число. Припишем каждой корзине число равное числу яблок, в ней находящихся, минус число яблок, лежащих в противоположной ей корзине. Назовем это число индексом корзины и отметим некоторые их свойства. Первое – индексы любых соседних корзин либо равны, либо отличаются на  ± 2. Второе – все индексы являются четными числами, поскольку равны разностям чисел одинаковой четности. Третье – индексы противоположных корзин равны по модулю и противоположны по знаку.

Для решения задачи достаточно показать, что найдется корзина с нулевым индексом. Пусть это не так. Выберем корзину с положительным индексом (это возможно по третьему свойству). Тогда из первого и второго свойств индекс соседней корзины также положителен. Рассуждая аналогично, доказываем, что индексы всех корзин положительны. Однако это противоречит третьему свойству.

Задача 4:

Дан выпуклый четырёхгранный угол. Всегда ли найдётся плоскость, сечение которой данного угла является параллелограммом?

((Предложена В.В.Нагребецким.))

Решение: Проведём плоскости через противоположные рёбра угла и отметим на их пересечении произвольную точку O, отличную от вершины. В каждой из плоскостей существует отрезок с концами на рёбрах угла и с серединой в точке O. (Данный отрезок есть основание равнобедренного треугольника, боковые стороны которого лежат на рёбрах угла). По известному признаку концы построенных отрезков являются вершинами искомого параллелограмма.