Задача 1:

Известно, что одно из натуральных чисел x и y чётно, а другое – нечётно. Представить число xy + x в виде разности квадратов двух целых чисел.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: Число xy + x = x(y + 1) либо нечётно, либо делится на 4. В первом случае искомым представлением будет , во втором – .

Задача 2:

Назовём натуральные числа близкими, если их десятичная запись содержит одно и то же число значащих цифр и отличается ровно в одном разряде на величину, по модулю равную 1.

Докажите, что если трёхзначное число не начинается с 1 и не содержит в своей записи нулей и девяток, то либо оно само, либо одно из близких ему чисел делится на 7.

((Предложена С.Э.Нохриным.))

Решение: Отсутствие 0 и 9 в записи числа a дает нам возможность утверждать, что близкими к a будут числа a – 1,a + 1, a – 10, a + 10, a – 100, a + 100. Очевидно, что все эти числа, а также число a, имеют разные остатки от деления на 7. Поскольку среди остатков есть 0, то задача решена.

Задача 3:

На окружности отмечено 1997 точек. Рассматриваются всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Пусть A – одна из отмеченных точек. Каких многоугольников больше – содержащих вершину A или не содержащих её?

((Предложена Е.С.Зенковой.))

Решение: Каждому n-угольнику, не содержащему вершину A, соответствует однозначно определенный n + 1-угольник, её содержащий. Вершинами этого n + 1-угольника являются вершины n-угольника и сама вершина A. При этом все содержащие A треугольники оказываются незадействованными. Отсюда многоугольников, содержащих A, больше.

Задача 4:

Прямоугольник вписан в квадрат таким образом, что его стороны не параллельны диагоналям квадрата. Докажите, что этот прямоугольник также является квадратом. (Считаем, что прямоугольник вписан в квадрат, если на каждой стороне квадрата лежит вершина прямоугольника.)

((Предложена В.В.Кабановым.))

Решение:

первый способ. Пусть ABCD – квадрат, MNPQ – вписанный в него прямоугольник, причем M ∈ AD, N ∈ CD, P ∈ BC, Q ∈ AB (см. рис.a, б). Проведём в MNPQ диагонали и опустим из точек P и Q на стороны квадрата перпендикуляры с основаниями R и S, соответственно. Треугольники  ∆ PMR и  ∆ QNS равны, так как имеют равные гипотенузы и равные катеты PR и QS. Тогда MR = SN. Пусть AM = x, MD = y, CN = u, ND = v. Очевидно, что MR = |y – x|, SN = |u – v|. С другой стороны, x + y = AD = CD = u + v. Из условия, что стороны прямоугольника не параллельны диагоналям квадрата, следует, что x ≠ u, y ≠ v (случай, изображённый на рис.а, невозможен). Но тогда x = v, y = u. Значит, треугольники  ∆ QMA и  ∆ MND равны, и MNPQ – квадрат.

второй способ. Из подобия треугольников MAQ и MDN имеем: , но x + y = v + u, откуда , (u + v)(y – u) = 0, и y = u, а значит x = v,  ∆ QMA =  ∆ MND, и MNPQ – квадрат.