Задача 1:

Корни квадратного уравнения x² + ax + 1 = b – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число a² + b² составное.

(Взята из журнала ``Квант" за 1970 год.)

Решение: Согласно теореме Виета a =  – (x₁ + x₂), b = 1 – x₁x₂, где x₁ и x₂ – корни данного уравнения. Тогда  – число составное, так как каждый множитель не менее двух.

Задача 2:

Найдите все натуральные числа, представимые в виде , где m и n – натуральные числа.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: Любое натуральное число x представимо в указанном виде. Достаточно взять m = 2x – 1 и n = 2x + 1.

Задача 3:

На автобусном маршруте 11 остановок, включая первую. На первой остановке в автобус село 10 пассажиров, и на каждой последующей остановке, кроме конечной, суммарное количество вошедших и вышедших пассажиров было равно 10. Кроме того оказалось, что каждый пассажир ехал не более 5 остановок (то есть от остановки с номером M не далее, чем до остановки с номером M + 5), и ни в какой момент автобус не был пустым. Какое наибольшее количество пассажиров могло одновременно оказаться в автобусе во время движения?

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: Пусть N – наибольшее количество пассажиров в автобусе оказалось между K и K + 1 остановками. Рассмотрим случай K ≤ 5 (случай K > 5 рассматривается аналогично). Так как на остановках с K + 1 по K + 5 все эти пассажиры обязаны выйти, причём на каждой остановке не более 10 человек, N ≤ 50. Если N = 50, то на каждой из остановок с K + 1 по K + 5 выйдет ровно 10 человек, не войдёт ни одного, и далее автобус пойдёт пустым – противоречие. Заметим ещё, что число пассажиров в любой момент чётно, поэтому N ≤ 48. Пример для N = 48: по 10 человек едет от 1-ой до 6-ой, от 2-ой до 7-ой и от 3-ей до 8-ой остановок, по 9 пассажиров – от 4-ой до 9-ой и от 5-ой до 10-ой, и по одному пассажиру от 4-ой до 5-ой, от 9-ой до 11-ой, и от 10-ой до 11-ой остановки.

Ответ: 48 пассажиров.

Задача 4:

Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если 4 медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: Пусть медианы, опущенные из точек A, B, C,  и D перпендикулярны соответствующим сторонам. Тогда треугольники  ∆ ACD,\  ∆ BDF,  ∆ CAE,  и  ∆ DBA равнобедренные, так как в них высота совпадает с медианой, что влечёт равенство всех диагоналей пятиугольника. Но тогда треугольник  ∆ EBC также равнобедренный, из чего и следует утверждение задачи.