Задача 1:

Даны корни x₀ и x₁, x₀ и x₂,  … , x₀ и x_n квадратных трехчленов y = x² + \  + a₁x + b₁, y = x² + a₂x + b₂,  … , y = x² + a_nx + b_n. Найдите корни квадратного трехчлена

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: Так как исследуемый трёхчлен есть среднее арифметическое трёхчленов с корнями x₀ и x₁, x₀ и x₂,  … , x₀ и x_n, число x₀ является его корнем. Второй корень, равный , находится по теореме Виета.

Задача 2:

Сколько существует пар (x,y) целых чисел x и y, заключённых между 1 и 1000, и таких, что x² + y² делится на 49? Пары (x,y) и (y,x) при x ≠ y считаются различными.

(Предложена Е.С.Зенковой.)

Решение: Рассмотрев всевозможные остатки от деления чисел x и y на 7, убеждаемся, что x² + y² делится на 49 тогда и только тогда, когда и x и y делятся на 7. Всего существует 142 натуральных числа, делящихся на 7 и не превосходящих 1000, а поэтому таких пар 142².

Задача 3:

На плоскости заданы точки A₁,A₂,A₃, … ,A₁₉₉₉ так, что A₁A₂ = 10,A₁A₃ = 5, A₂A₃ = \  = 7, а для всех натуральных чисел N, больших 3, A_N – середина отрезка A_N – 3A_N – 2.

а) Найдите площадь треугольника A₁₉₉₇A₁₉₉₈A₁₉₉₉.

б) Какой из углов треугольника A₁₉₉₇A₁₉₉₈A₁₉₉₉ является наибольшим?

(Предложена Д.О.Филимоненковым.)

Решение: Заметим (см. рисунок), что для любого k треугольники A_kA_k + 1A_k + 2 и A_k + 4A_k + 5A_k + 6 подобны с коэффициентом 4. Имеем

а наибольший угол треугольника A₁₉₉₇A₁₉₉₈A₁₉₉₉ соответствует наибольшему углу треугольника A₁A₂A₃, то есть является углом при вершине A₁₉₉₉.

Задача 4: В восьми вазах лежат конфеты: в первой – 1, во второй – 2, в третий – 3, , в восьмой – 8 конфет. Маша съедает каждый день ровно k конфет (k – натуральное число), причём из каждой вазы берёт не более одной конфеты. Найдите все значения k, при которых Маша сможет съесть все конфеты.

((Предложена С.Э.Нохриным.))

Решение: Число дней, за которе Маша сможет съесть все конфеты не менее 8 (иначе не опустошить восьмую вазу), общее число конфет – 36, поэтому . Для того, чтобы показать, что все такие k удовлетворяют условию задачи, распределим вазы в k групп так, чтобы конфет в каждой группе было поровну. Алгоритм поедания конфет таков: каждый день съедается по одной конфете из каждой группы (неважно из какой вазы). Искомое распределение:

при k = 4: 1-ая + 8-ая вазы, 2-ая + 7-ая вазы, 3-я + 6-ая вазы, и 4-ая + 5-ая вазы.

при k = 3: 1-ая + 2-ая + 3-я + 6-ая вазы, 4-я + 8-ая вазы, и 7-ая + 5-ая вазы.

при k = 2: 1-ая + 8-ая + 2-ая + 7-ая вазы и 3-я + 6-ая + 4-ая + 5-ая вазы.

при k = 1 единственная группа состоит из всех ваз.