Задача 1: Докажите, что , при всех неотрицательных a, b, и c.

Решение: Пусть c – наибольшее из данных трёх чисел, и пусть c = m + d, где . Тогда d неотрицательно, а левая часть неравенства записывается в виде . Легко видеть, что это выражение не меньше, чем m³ + m²d = m²c. Остаётся доказать, что m² ≥ ab, что немедленно следует из равенства .

Задача 2: Даны простые числа p и q, причём q³ – 1 делится на p, и p – 1 делится на q. Докажите, что p = 1 + q + q².

Решение: q³ – 1 = (q – 1)(q² + q + 1) делится на p. Учитывая, что p – простое,и p > q (так как p – 1 делится на q), имеем q² + q + 1 =  α p, где  α  – натуральное число. Ясно также, что для некоторого натурального  β  справедливо p – 1 =  β q. Сложив почленно оба уравнения, получим: q(q + 1 –  β ) = p( α  – 1). Так как ни q, ни q + 1 –  β  на p не делятся (оба эти числа меньше p), имеем  α  – 1 = 0, откуда q² + q + 1 = p, ч.т.д.

Задача 3: Как сварить яйца за 15 минут, пользуясь песочными часами на 7 и 11 минут?

Решение: Так как 15 = 2 • 11 – 7, достаточно запустить одновременно те и другие часы, начать отваривать яйца, когда впервые высыпется песок из семиминутных часов, а завершить – когда песок во второй раз высыпется из одиннадцатиминутных.

Задача 4: Точки A₁, B₁ и C₁ взяты соответственно на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC так, что . Докажите, что .

Решение: Пусть , и . Из условия , учитывая, что , получаем: . Так как векторы и не коллинеарны,  λ  –  μ  =  μ  –  τ  = 0, откуда  λ  =  μ  =  τ . Остаётся заметить, что , и .