Задача 1: Доказать, что , где a – некоторое число.

Решение: Так как , то , откуда , что и требовалось доказать.

Задача 2: Пусть M – натуральное число. Доказать, что число M(M + 1)(M + 2)(M + 3) делится на 24.

Решение: Так как среди любых четырех последовательных натуральных чисел имеется два четных, причём одно из них делится на 4, произведение M(M + 1)(M + 2)(M + 3) делится на 8. Кроме того, среди чисел M, (M + 1), (M + 2), (M + 3) найдется число, которое делится на 3. Следовательно, произведение M(M + 1)(M + 2)(M + 3) делится на 24, что и требовалось доказать.

Задача 3: Сколькими способами четыре разные книги можно поставить на книжную полку?

Решение: На первом месте может находиться любая из четырех книг, на втором – любая из трех оставшихся, на третьем – любая из двух оставшихся. Таким образом, всего способов 4 • 3 • 2 • 1 = 24.