Задача 1: Решите уравнение

([p] – наибольшее целое число, не превосходящее p).

(Н.Агаханов)

Решение:

Числа  sin x и  cos x должны быть разных знаков, поэтому в первой и третьей четвертях решений нет. Пусть . Тогда пусть (n ∈ Z ₊ 0 ≤  α ,\, β  < 1) . Далее

При n = 0 и при n = 1 одно из слагаемых больше или равно 1, а второе строго положительно, поэтому при этих n решений нет. При n ≥ 3 , и уравнение (*) решений не имеет. Итак, n = 2, и , следовательно ⅓ <  sin x ≤ ½, – 1 <  cos x ≤  – ½, то есть .

Аналогично, если , то ⅓ <  cos x ≤ ½, – 1 <  sin x ≤  – ½, откуда .

С учетом периодичности получаем ответ:

ОТВЕТ: , .

Задача 2: Дана последовательность a₁,a₂,a₃, … , где a_n = n² + n + 1 при любом n ≥ 1. Докажите, что произведение любых двух соседних членов этой последовательности также является её членом.

(С.Токарев)

Решение:

Утверждение вытекает из цепочки равенств:

Задача 3: В треугольнике ABC проведена биссектриса внешнего угла A (см. рис.17), которая пересекает продолжение стороны BC в точке D. Докажите, что .

Решение:

Построим биссектрису внутреннего угла A треугольника ABC – AK (см. рис.17). Ясно, что AK пепендикулярно AD. Проведем через точку B прямую, параллельную AD, и пусть F – точка ее пересечения с прямой AC. Прямая AK в треугольнике  ∆ ABF является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник  ∆ ABF равнобедренный, и AB = AF.  ∆ BCF подобен  ∆ DCA, поэтому , откуда , следовательно , и , что и требовалось доказать.

Задача 4: На круговой автостраде ровно 1998 светофоров. Каждую минуту они одновременно меняют цвет по следующему правилу:

Каждый светофор меняет цвет в зависимости от цвета двух соседних (справа и слева), причём

1) если два соседних светофора горели одним цветом, то светофор между ними загорается этим же цветом.

2) если два соседних светофора горели разными цветами, то светофор между ними загорается третьим цветом.

В начальный момент все светофоры кроме одного были зеленые, а один — красный. Верно ли, что через какое-то время все светофоры будут гореть жёлтым цветом? Ответ обосновать.

Решение:

Нет, это неверно. От противного, пусть в некоторый момент времени впервые все светофоры загорелись жёлтым цветом. Рассмотрим ситуацию, которая была минутой ранее. Ясно, что некоторый светофор горит другим цветом (без ограничения общности, красным). Тогда светофоры, стоящие от него через один (как влево, так и вправо) – зелёные, а оба соседних светофора жёлтые. В свою очередь, светофоры, стоящие через один от зелёного, красные, а соседние с ним – жёлтые. Все светофоры, таким образом, делятся на четвёрки подряд идущих, в которых второй по счёту светофор красный, а четвёртый – зелёный. Противоречие с тем, что общее число светофоров на четыре не делится.