Задача 5: Пусть фиксированы положительные числа m и M такие, что m < M. Пусть также m ≤ x_j ≤ M,j = 1,\,2,\, … ,\,n. Рассматривается следующая задача: найти наибольшее значение выражения

Х.Гюйгенс доказал, что решение этой задачи существует, и нашёл единственные числа из отрезка [m,M], при которых выражение A принимает наибольшее значение. Сможете ли Вы найти эти числа?

Решение:

где . Обозначим буквой B выражение (1 + y₁)(1 +   + y₂) … (1 + y_n + 1). Тогда исходная задача эквивалентна следующей: найти наименьшее значение выражения B при ограничениях:

В условии задачи сказано, что существуют единственные числа , решающие задачу Гюйгенса. По ним однозначно восстанавливаются числа , решающие вторую задачу (и наоборот). Покажем, что все числа равны между собой. От противного, пусть для некоторого номера i . Пусть . Покажем, что при замене на и на выражение B уменьшится, и что числа и удовлетворяют ограничениям второй задачи. Отсюда будет следовать, что числа не реализуют минимум выражения B, то есть противоречие с их выбором.

Для доказательства первого утверждения достаточно проверить неравенство:

которое эквивалентно истинному неравенству в силу того, что .

Покажем, что числа и удовлетворяют указанным ограничениям. Возможны два случая:

Случай i ≥ 2. Имеем:

Перемножая эти двойные неравенства и извлекая затем квадратный корень, находим:

В случае i = 1 из неравенств и требуется вывести, что . Левое неравенство здесь очевидно, а правое следует из цепочки:

Итак, , , ,  … , .

ОТВЕТ: .

Задача 6: Докажите, что уравнение x² + y² = z³ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Решение:

Будем искать решения в виде x = y = 2ⁿ,z = 2^k. Тогда 2²ⁿ + 2²ⁿ = (2^k)³. Получаем диофантово уравнение 2n + 1 = 3k. Так как n и k натуральные, то k нечётно, т.е. k = 2l – 1. Тогда 2n + 1 = 6l – 3,n = 3l – 2, и исходное уравнение имеет решения x = y = 2^3l – 2,z = 2^2l – 1 (l ∈ N).

Задача 7: Ортогональные проекции на плоскости всех граней треугольной пирамиды отрезка, соединяющего середины его противоположных рёбер, имеют равные длины. Докажите, что таким же свойством обладает и любой из двух других отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер пирамиды.

(Н.Агаханов)

Решение:

Покажем, что условие задачи эквивалентно тому, что в тетраэдре равны все высоты. (Ясно, что тогда вывод задачи будет очевиден). Пусть KM – отрезок, соединяющий середины рёбер BD и AC тетраэдра ABCD, причём MK₁  =  MK₂ = KM₁ = KM₂, где K₁ и K₂ – проекции точки K на плоскости ABD и CBD, а M₁ и M₂ – проекции точки M на плоскости ACD и ABC (см. рис.24). Тогда прямоугольные треугольники KMK₁,KMK₂,KMM₁,KMM₂ с общей гипотенузой KM равны, следовательно, KK₁ = KK₂ = MM₁ = MM₂. Но эти отрезки — половины высот тетраэдра, значит, все высоты тетраэдра также равны. Наоборот, из равенства высот следует равенство отрезков KK₁,KK₂,MM₁,MM₂ (как их половин), равенство треугольников KMK₁,KMK₂,KMM₁,KMM₂ (по катету и гипотенузе), и, наконец, равенство проекций MK₁ = MK₂ = KM₁ = KM₂. Утверждение полностью доказано.

Задача 8: Есть три поля: на одном лежит стопка из n монет, два других свободны. За один ход можно переложить монету с верха любой стопки на свободное поле или на верх любой другой стопки. За какое наименьшее число ходов удастся собрать стопку в обратном порядке на том же поле?

(А.Шаповалов)

Решение:

Покажем, как выполнить задание за 3n – 2 хода. Обозначим поля A B и C, причём стопка пусть лежит на A. Верхнюю монету перекладываем на B (1 ход), остальные – на C (n – 1 ходов), первую – обратно на A (1 ход), все с C, кроме нижней – на B (n – 2 ходов), нижнюю — на A (1 ход), наконец, все монеты с B на A (ещё n – 2 ходов). Всего 1 + (n – 1) + 1 + (n – 2) + 1 + (n – 2) = 3n – 2 хода.

Меньшим числом ходов обойтись нельзя. Предположим противное. Так как ни одна монета не может всё время оставаться на A, каждая из монет сделала не менее двух ходов. В силу принципа Дирихле есть три монеты сделавшие ровно по 2 хода, значит, по крайней мере две из них побывали на одном и том же поле B или C. Выбросим все остальные монеты и повторим в том же порядке ходы этих двух монет – выясняется, что изменить их порядок в стопке невозможно. Противоречие.

ОТВЕТ: 3n – 2 хода.