Задача 5: При каких n существует многочлен P_n(x) = xⁿ + a₁x^n – 1 +  …  + a_n – 1x + a_n с действительными коэффициентами такой, что при всех x ∈ R P_n(x) >  – 3 и P_n( – 2) = P_n(0) = P_n(2) = 0?

(Н.Агаханов)

Пусть многочлен P_n(x) = xⁿ + a₁x^n – 1 +  …  + a_n – 1x + a_n удовлетворяет условиям задачи. Тогда он имеет по крайней мере 3 корня, поэтому n > 2. Если n нечётно, то при x →  –  ∞  P_n(x) →  –  ∞ , следовательно, условие P_n(x) >  – 3 при всех x ∈ R не выполнено. Итак, n четно. Пусть n = 4, тогда P_n(x) = x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄. Подставляя значения x = 0 и x =  ± 2, получаем: a₄ = 0,16 ± 8a₁ + 4a₂ ± 2a₃ = 0, откуда a₂ =  – 4,a₃ =  – 4a₁, то есть P_n(x) = x⁴ + a₁x³ – 4x² – 4a₁x. Так как P_n(1) >  – 3 имеем 1 + a₁ – 4 – 4a₁ >  – 3, или a₁ < 0. Так как P_n( – 1) >  – 3 имеем 1 – a₁ – 4 + 4a₁ >  – 3, или a₁ > 0. Противоречие, показывающее, что n ≠ 4. Пусть n = 4 + 2k, где k – натуральное число. Тогда многочлен P_n(x) = (x – 2)²(x + 2)²x^2k удовлетворяет, очевидно, всем условиям задачи.

ОТВЕТ: при всех четных n, больших 5.

Задача 6: Существуют ли 1998 нецелых рациональных чисел, произведение любых двух из которых – целое число?

(А.Малистов, А.Белов)

Да, существуют. Выберем различные простые числа p_i (1 ≤ i ≤ 1998) и положим для всех i. Все они не целые (числитель на знаменатель не делится), а произведение любых двух x_i • x_j – произведение квадратов выбранных простых чисел, кроме p_i и p_j, то есть целое число.

Задача 7: В пространстве расположены четыре попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что найдётся полуплоскость, границей которой является одна из этих прямых, не пересекающаяся с остальными тремя прямыми.

(Р.Карасёв)

Обозначим прямые l₁, l₂, l₃ и l₄. Если все они параллельны некоторой плоскости  α , то достаточно взять так, что l₁ и в качестве полуплоскости одну из полуплоскостей, на которые l₁ делит . Иначе найдутся три прямые (без ограничения общности l₁,l₂ и l₃), которые не параллельны одной плоскости. Пусть  α ₁₂ – плоскость, параллельная l₁ и l₂ и такая, что l₁ и l₂ лежат от неё по разные стороны. Аналогично определим плоскости  α ₁₃ и  α ₂₃. Обозначим X₁ двугранный угол, который ограничен  α ₁₂, α ₁₃ и содержит l₁. Аналогично определим X₂ и X₃. Заметим, что X₁ и X₂ не пересекаются (они содержат l₁ и l₂, лежащие по разные стороны от  α ₁₂). Аналогично не пересекаются любые два из углов X₁,X₂ и X₃.

Рассмотрим угол X₁. Так как l₂ и l₃ не пересекают его, а l₁ в нём содержится, то любая полуплоскость с краем l₁, лежащая в этом угле, не пересекает l₂ и l₃. Что же касается l₄, то она может помешать проведению полуплоскости через l₁ в угле X₁ только если она пересекает X₁ по отрезку. Аналогично, рассуждая от противного, l₄ пересекает X₂ и X₃ по отрезкам, но это значит, что три плоскости  α ₁₂,  α ₁₃ и  α ₂₃ высекают на прямой l₄ три отрезка, что невозможно (три точки разделяют прямую на 2 отрезка и 2 луча). Противоречие, показывающее, что требуемую полуплоскость через какую-то из прямых l₁,l₂,l₃ провести можно.

Задача 8: Поле для игры в бильярд имеет размеры m × n дюймов (m,n — натуральные числа). Разрешается установить шар в любую точку поля, отстоящую от бортов на целое число дюймов, и нанести по нему удар под углом 45° к любому из бортов. Угол падения равен углу отражения; при попадании в угол поля шар отскакивает в противоположном направлении. Сколько различных траекторий может получиться в зависимости от m и n?

Решение:

ОТВЕТ: (n,m) + 1 траекторий, где (n,m) – наибольший общий делитель чисел m и n.

1 способ. Назовём траектории, проходящие через угол поля, траекториями первого типа, а остальные – траекториями второго типа. Так как каждая траектория либо не проходит через углы, либо проходит ровно через два угла, то существует ровно 2 траектории первого типа. Выпустим шар из произвольной точки поля и засечём момент, когда он впервые вернётся в исходную точку, а направление его скорости совпадёт с первоначальным. Тогда если шар двигался по траектории первого типа, он прошёл её дважды (туда и обратно), а если по траектории второго типа – то ровно один раз.

Найдём длину пути, пройденного шаром. Для этого рассмотрим движение шара в проекции на борт поля, длина которого m дюймов. Очевидно, что в этой проекции шар совершает возвратно-поступательные движения с амплитудой m. Чтобы шар оказался в первоначальной точке с первоначально направленной скоростью, он должен полностью пройти путь туда – обратно целое число раз, скажем, k. Тогда длина пройденного шаром пути в проекции равна km, а реально путь шара равен . Аналогично рассмотрим движение шара в проекции на другой борт. Получим, что путь шара равен для некоторого натурального t. Так как S одно и то же, имеем уравнение в натуральных числах tn = km, причём числа t и k – наименьшие, удовлетворяющие такому уравнению (так как шар впервые вернулся в исходную точку с начальной скоростью). Тогда tn — наименьшее общее кратное чисел n и m (обозначим его НОК), и оно не зависит от начального положения шара, то есть длина любой траектории второго типа равна S.

Пусть траекторий второго типа x, тогда суммарная длина всех траекторий равна . С другой стороны, в каждой«единичной" клеточке поля проходят ровно 2 участка траекторий длины каждый, поэтому суммарная длина траекторий равна .

Имеем уравнение: , откуда (здесь (n,m) — наибольший общий делитель чисел n и m). Тогда общее число траекторий равно x + 2 = (n,m) + 1.

2 способ.

1) На квадратном поле n × n любая траектория – суть либо дважды пройденная диагональ, либо прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям поля (см.рис.25). Таким образом, число траекторий на таком поле равно n + 1.

2) Пусть поле имеет размеры m × n, где m > n. Покажем, что если от него отделить квадратный кусок n × n, то количество траекторий на укороченном поле не изменится. Проведём на поле прямую, отделяющую от него квадрат n × n, и рассмотрим произвольную траекторию. Если эта траектория пересекает проведённую линию во внутренней точке, скажем, в M (см. рис. 26, траектория I), то далее шар движется по границе некоторого прямоугольника (см. пункт 1) и возвращается в M. Если же траектория проходит через точку пересечения проведённой прямой с одним из бортов (траектория II), то шар попадает в угол поля и затем возвращается по той же самой траектории. В обоих случаях шар ведёт себя так, как если бы вместо проведённой прямой был жёсткий барьер (борт поля). Таким образом, каждой траектории на поле m × n соответствует траектория на поле (m – n) × n (получаемая путём отсечения части изначальной траектории, которая лежит в квадрате n × n), и наоборот. Утверждение доказано.

3) В силу доказанного в пункте 2, если m = kn + t, где 1 ≤ t ≤ n, число траекторий на полях размера m × n и n × t одно и то же. Повторяя эту операцию несколько раз, придём к квадратному полю размера d × d, где d – наибольший общий делитель чисел m и n. По первому пункту, число траекторий на таком поле d + 1.

Замечание. По сути дела в пункте 3 осуществлён алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел m и n.