Задача 1: Пусть S(a) и  Π (a) – соответственно сумма и произведение цифр числа a. Найдите наименьшее натуральное число a, обладающее свойством: S(a) •  Π (a) = 1998.

Решение:

S(a) Π (a) = 1998 = 2 • 3 • 3 • 3 • 37. Так как 37 – простое число, то либо S(a) либо  Π (a) делится на 37, а так как  Π (a) – произведение цифр и потому на 37 не делится, S(a) = 37k. Число a тем меньше, чем меньше цифр в его записи, поэтому k = 1, то есть S(a) = 37, Π (a) = 54. Представить произведение наименьшим числом цифр можно только так: 54 = 6 • 9, а получить S(a) = 37 можно только с помощью 22 единиц, значит, минимальное искомое число .

Задача 2: Даны 7 попарно пересекающихся прямых на плоскости. Известно, что любые три прямые пересекаются в одной точке. Докажите, что все прямые пересекаются в одной точке.

Решение:

Занумеруем прямые цифрами от 1 до 7. Возьмем прямые 1, 2 и 3 – они пересекаются в одной точке, скажем, в точке A. Затем возьмем прямые 1, 2, 4. Они также пересекаются в A, так как прямые 1 и 2 имеют только одну точку пересечения. Аналогично, получаем, что прямые 5, 6 и 7 также проходят через A.

Задача 3: Имеется семь монет, из которых две фальшивые, весящие меньше настоящих на 1 грамм. За три взвешивания на чашечных весах без гирь определите обе фальшивые монеты.

Решение:

Занумеруем монеты цифрами от 1 до 7. Первым взвешиванием сравним монеты 1, 2, 3 и 4, 5, 6. Возможны два случая.

Случай 1: Весы в равновесии. Тогда на каждой чашке весов по одной фальшивой монете. Вторым взвешиванием выделим фальшивую монету из группы 1, 2, 3, для чего сравним монеты 1 и 2. Если их веса равны, то фальшивая монета 3, если неравны, то фальшивая та, которая легче. Третьим взвешиванием аналогично находим вторую фальшивую монету.

Случай 2: Одна из групп (скажем, 1, 2, 3) перевесила. Тогда обе фальшивые монеты в группе 4, 5, 6, 7. Вторым взвешиванием сравним монеты 4 и 5. Если их веса различны, то более легкая — фальшивая, и тогда последним взвешиванием (например, сравнивая монеты 6 и 7) находим и вторую фальшивую. Если веса равны, то фальшивые монеты либо 4 и 5, либо 6 и 7. Сравним третьим взвешиванием монеты 4 и 6, и узнаем какой из этих случаев имеет место.