Задача 4: Натуральные числа от 1 до 100 разбиты на два набора по 50 чисел. Один набор выписан вдоль верхней стороны таблицы 50 × 50, а другой – вдоль левой стороны. В клетки таблицы записаны суммы соответствующих чисел из наборов ("таблица сложения"). Могут ли все эти суммы оказаться различными?

(О.Подлипский)

Всего чисел в таблице 2500, а числа эти могут принимать значения от 3 до 199, то есть всего 197 различных значений. Следовательно, в таблице всегда найдутся одинаковые числа.

Задача 5: Будут ли равны два треугольника если угол, прилежащая к нему сторона и разность двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей стороне и разности двух других сторон другого треугольника?

Решение:

Вообще говоря, нет. Пример: в треугольнике ABD стороны AB и AD равны соответственно 1 и 2 см, угол  ∠ BAD равен 60°. Точка C лежит на середине стороны AD (см рис.19). Тогда у треугольников ABD и BCD сторона BD и угол  ∠ BDA общие, стороны AB и BC равные (так как треугольник ABC равносторонний), но сами треугольники не равны.

Заметим, однако, что если для треугольников ABC и A₁B₁C₁ выполнены соотношения AC = A₁C₁,  ∠ A =  ∠ A₁, и AB – BC = A₁B₁ – B₁C₁ (а не AB – BC = B₁C₁ – A₁B₁), то треугольники равны. Докажем это. Найдём на сторонах AB и A₁B₁ точки D и D₁ так, чтобы BD = BC, и B₁D₁ = B₁C₁ (см. рис.20). Тогда AD = AB – BC = A₁B₁ – B₁C₁ = A₁D₁, треугольники ADC и A₁D₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, DC = D₁C₁, и  ∠ ADC =  ∠ A₁D₁C₁ (откуда равны также углы  ∠ BDC и  ∠ B₁D₁C₁). Тогда равны треугольники BDC и B₁D₁C₁ – они равнобедренные, у них равны основания и углы при основании. Отсюда BD = B₁D₁, BC = B₁C₁, AB = A₁B₁, и  ∆ ABC =  ∆ A₁B₁C₁ по трём сторонам.

Задача 6: Незнайка перемножил два двузначных числа, а затем заменил в примере одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные – на разные. У него получилось: АБ • ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что Незнайка где-то ошибся.

Решение:

Число ДДЕЕ делится на 11 (ДДЕЕ = 1000Д + 100Д + 10Е + Е = 11(100Д + Е)), значит, на 11 делится одно из чисел АБ или ВГ. Но двузначное число делится на 11 только тогда, когда цифра десятков равна цифре единиц. Значит, Незнайка ошибся.