Задача 5: Найдутся ли какие-нибудь 4 натуральных числа таких, чтобы среди наибольших общих делителей пар встретились 6 последовательных чисел?

(А.Шаповалов)

Пусть найдутся 4 натуральных числа, удовлетворяющих условию. Так как из 6 последовательных чисел ровно 2 делятся на 3 (*), то найдутся 2 различные пары (a,b) и (c,d) такие, что наибольший общий делитель каждой пары делится на 3. Если все числа составляющие эти 2 пары различные, то тогда наибольший общий делитель каждой из 6 пар делится на 3. Противоречие с (*). Если у этих 2 пар совпадают два числа (допустим a = c), то тогда мы можем указать еще одну пару (b,d), отличную от исходных двух, наибольший общий делитель которой делится на 3. Противоречие с (*).

Задача 6: Проверьте следующее равенство:

Решение:

Преобразуем левую часть равенства

Преобразуем правую часть равенства

Так как левая часть равенства равна правой, то равенство справедливо.

Задача 7: В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и CC₁. Докажите, что если длины перпендикуляров, опущенных из вершины B на прямые AA₁ и CC₁ равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

(Н.Агаханов)

Пусть F и K точки пересечения перпендикуляров, опущенных из вершины B на прямые AA₁ и CC₁ соответственно, а O — точка пересечения биссектрис  ∆ ABC (см. рис.21).

1)  ∆ OKB =  ∆ OFB (по катету и гипотенузе: BK = BF, OB — общая). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:  ∠ KOB =  ∠ FOB.

2)  ∆ OBC₁ =  ∆ OBA₁ по II признаку равенства треугольников (OB — общая,  ∠ OBC₁ =  ∠ OBA₁, так как OB — биссектриса  ∆ ABC,  ∠ KOB =  ∠ FOB) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OC₁ = OA₁.

3)  ∆ OAC₁ =  ∆ OCA₁ по II признаку равенства треугольников (OC₁ = OA₁,  ∠ C₁OA =  ∠ A₁OC как вертикальные,  ∠ AC₁O =  ∠ CA₁O как смежные углы к равным углам равных треугольников  ∆ OBC₁ и  ∆ OBA₁) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:  ∠ OAC₁ =  ∠ OCA₁. Но  ∠ OAC₁ = ½ ∠ A,  ∠ OCA₁ = ½ ∠ C, откуда  ∠ A =  ∠ C, а значит  ∆ ABC — равнобедренный.

Задача 8: Прожектор освещает развёрнутый угол (180). Можно ли расположить 19 прожекторов так, чтобы никакие 3 из них не находились на одной прямой и каждый прожектор освещал бы только один другой прожектор?

(Т.Емельянова)

Можно. Например, сначала расположить все прожекторы на окружности в точках P₁,P₂, … P₁₉, так, чтобы все дуги были равны P_iP_i + 1 = 2 π /19 и так, чтобы развернутый угол, который освещает каждый прожектор, был перпендикулярен радиусу окружности в точке P_i и не освещал окружность. Затем каждый развернутый угол в точке P_i повернуть по часовой стрелке так, чтобы луч из P_i проходил через середину дуги P_i + 1P_i + 2.