Задача 1: Имеет ли уравнение x¹⁹⁹⁷ + 2x¹⁹⁹⁶ + 3x¹⁹⁹⁵ +  …  + 1997x + 1998 = 0 целые корни?

(Т.Емельянова)

Не имеет. Действительно, пусть x₀ – его целый корень. Тогда x₀ < 0. Обозначим k =  – x₀, тогда  – k¹⁹⁹⁷ + 2k¹⁹⁹⁶ – 3k¹⁹⁹⁵ +  …  – 1997x + 1998 = 0, 2k¹⁹⁹⁶ + 4k¹⁹⁹⁴ +  …  + 1998 = k¹⁹⁹⁷ + 3k¹⁹⁹⁵ +  …  + 1997k Теперь если k = 1, то 2k¹⁹⁹⁶ > k¹⁹⁹⁷, 4k¹⁹⁹⁴ > 3k¹⁹⁹⁵, … 1998 > 1997k, и левая часть последнего уравнения больше правой; если же k ≥ 2, то 2k¹⁹⁹⁶ < k¹⁹⁹⁷, 4k¹⁹⁹⁴ < 3k¹⁹⁹⁵, … 1998 < 1997k, и правая часть уравнения больше левой.

Задача 2: Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида 2n⁵ + 1998n, где n = 1,\,2,\,3,\,4,\, … .

Решение:

При n = 1 и n = 2 получаются числа 2000 и 4060, наибольший общий делитель которых – число 20. Значит, наибольший общий делитель всех рассматриваемых чисел есть делитель 20. Покажем, что для всех натуральных n число 2n⁵ + 1998n делится на 20. Для этого достаточно показать, что всякое число вида n⁵ – n = ½(2n⁵ + 1998n) – 1000n делится на 10, что эквивалентно утверждению, что числа n⁵ и n оканчиваются на одну и ту же цифру. Это проверяется путем рассмотрения всех цифр, на которые может оканчиваться число n.

ОТВЕТ: Наибольший общий делитель равен 20.

Задача 3: Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, делит его диагонали в равных отношениях.

(М.Сонкин)

Пусть M и N – середины сторон AB и DC. Опустим перпендикуляры из всех вершин на прямую MN: AA₁,BB₁,CC₁ и DD₁ (см. рис.15). Тогда AA₁ = BB₁, CC₁ = DD₁, из подобия треугольников AA₁E и CC₁E имеем , а из подобия треугольников BB₁F и DD₁F имеем . Из полученных уравнений немедленно следует утверждение задачи, так как AA₁ = BB₁, и CC₁ = DD₁.

Задача 4: На доске 5 × 5 16 полей заняты королями. Докажите, что найдётся квадрат размером 2 × 2, в клетках которого будет не менее трёх королей.

Решение:

Предположим, что нам удалось расставить королей так, что в каждом квадрате 2 × 2 нет трёх королей. Тогда в верхнем левом угловом квадрате 4 × 4 расположено не более 8 королей, поэтому в заштрихованных клетках (см. рис.16.) их не менее 8, причём в трёх помеченными нуликами клеток расположено не более 2 королей. Тогда в заштрихованных клетках ровно 8 королей, в клетках, помеченных крестиками, королей нет, а значит, в верхнем левом угловом квадрате 3 × 3 расположены оставшиеся 8 королей. Выберем в этом квадрате произвольно квадрат 2 × 2. В нём не более одной свободной клетки – противоречие.