Задача 1: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол  ∠ ABD равен углу  ∠ ACD.

Доказать, что ABCD – равнобедренная трапеция.

Решение:

Из равенства углов  ∠ ABD и  ∠ ACD следует, что точки A,B,C,D лежат на одной окружности. Из параллельности хорд BC и AD следует равенство дуг и . Поскольку равные дуги стягивают и равные хорды, то AB = CD.

Задача 2: Решить в целых числах уравнение 2ⁿ + 7 = m².

Решение:

Так как m – целое число, то 2ⁿ = m² – 7 – целое число. Поэтому n ≥ 0.

При n = 0 уравнение m² = 8 не имеет решений в целых числах. При n = 1 имеем 9 = m², и m = 3. Если n ≥ 2, то, переписывая уравнение в виде 2ⁿ + 6 = m² – 1, видим, что правая часть делится на 4 (так как m нечётно), а левая на четыре не делится. Поэтому при n ≥ 2 решений в целых числах нет. Ответ: n = 1, m = 3.

Задача 3: По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?

Решение:

Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед — лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные — лжецы) удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 2 рыцаря.

Задача 4: Пусть 0\, < \,a\, < \,b\, < \,c\, < \,d.

Докажите, что уравнения x⁴ + bx + c = 0 и x⁴ + ax + d = 0 не имеют общих корней.

Решение:

Допустим, что у этих уравнений есть общий корень x₀. Вычитая из равенства равенство , получим (b – a)x₀ = d – c. По условию d – c > 0, и b – a > 0, значит, и x₀ > 0. Но положительное число не может быть корнем многочлена, все коэффициенты которого положительны.